Запишем уравнения движения частицы в точках $A$ и $B$ :
$$
m a_A=q E_A, \quad m a_B=q E_B .
$$Отсюда следует, что
$$
\frac{a_A}{a_B}=\frac{E_A}{E_B},
$$то есть отношение ускорений частицы в точках $A$ и $B$ равно отношению напряженностей поля, создаваемого полукольцом, в этих точках. С другой стороны, из условия задачи нам фактически известно отношение потенциалов поля в точках $A$ и $B$. Действительно, согласно закону сохранения энергии
$$
\frac{m v_A^2}{2}=q \varphi_A, \quad \frac{m v_B^2}{2}=q \varphi_B
$$(поскольку на бесконечности энергия частицы равна нулю), и $$
\frac{\varphi_A}{\varphi_B}=\frac{v_A^2}{v_B^2}=n^2 .
$$Попытаемся выразить отношение $E_A / E_B$ через известное отношение $\varphi_A / \varphi_B$.
Разобьем мысленно полукольцо на множество элементарных участков с зарядом $\Delta Q$ каждый ( $Q$ — заряд всего полукольца). Пусть $\Delta \varphi_B$ и $\Delta E_B$ — соответственно потенциал и напряженность поля, создаваемого в точке $B$ участком, который находится на расстоянии $\varrho$ от этой точки (см. рисунок). Тогда
$$
\Delta \varphi_B=k \frac{\Delta Q}{\rho}=k \frac{\Delta Q}{2 r \cos \alpha}, \quad \Delta E_B=k \frac{\Delta Q}{\varrho^2}=k \frac{\Delta Q}{4 r^2 \cos ^2 \alpha} .
$$Проекция вектора $\Delta \vec{E}_B$ на горизонтальную ось $x$ равна
$$
\Delta E_{B x}=\Delta E_B \cos \alpha=k \frac{\Delta Q}{4 r^2 \cos \alpha}=\frac{\Delta \varphi_B}{2 r} .
$$Из соображений симметрии ясно, что напряженность поля $\vec{E}_B$ в точке $B$ направлена вдоль оси $x$. Следовательно, значение $E_B$ равно сумме проекций $\Delta E_{B x}$ напряженностей полей, создаваемых всеми элементарными участками, то есть
$$
E_B=\Sigma \Delta E_{B x}=\Sigma \frac{\Delta \varphi_B}{2 r}=\frac{\varphi_B}{2 r} .
$$Что касается значений $\varphi_A$ и $E_A$, то
$$
\varphi_A=\frac{Q}{r}, E_A=\frac{2 Q}{\pi r^2}=\frac{2 \varphi_A}{\pi r}
$$(получите эти соотношения самостоятельно).
Итак, $E_A / E_B=4 \varphi_A / \pi \varphi_B$, и отношение ускорений частицы в точках $A$ и $B$ равно
$$
\frac{a_A}{a_B}=\frac{4}{\pi} \frac{\varphi_A}{\varphi_B}=\frac{4}{\pi} n^2 .
$$