Выберем систему координат $X Y$, как показано на рисунке, Сразу же можно отметить, что движение частицы вдоль оси $Y$ будет равномерным со скоростью $v \cos a$ (действием силы тяжести мы пренебрегаем). Сила, действующая на частицу со стороны заряженных слоев, направлена вдоль оси $X$ и в точке с координатой $x$ определяется зарядами, находящимися в заштрихованных на рисунке областях (симметричных относительно плоскости раздела слоев). Действительно, действие незаштрихованных областей с разноименными зарядами компенсируется, поскольку область объемного заряда можно представить себе как набор плоскостей с поверхностным зарядом, а поле, создаваемое заряженной плоскостью, не зависит от расстояния до нее. По той же причине можно считать, что поле в точке с координатой $x$ определяется заряженными плоскостями с поверхностной плотностью заряда $-\varrho x$ и $+\varrho x$ и справа от этой точки. Напряженность такого поля равна
$$
E=2 \frac{\varrho x}{2\varepsilon_0}=\frac{\varrho x}{\varepsilon_0} .
$$Значит сила, действующая на частицу в тот момент, когда она находится в точке с координатой $x$, равна
$$
F_x=-e \frac{\varrho x}{\varepsilon_0},
$$и уравнение движения частицы в направлении оси $X$ —
$$
x^{\prime \prime}=-\frac{e \varrho }{m \varepsilon_0} x
$$— это уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega_0=\sqrt{e\varrho/ m \varepsilon_0}$. Понятно, что частица не проникнет в область отрицательного заряда, если амплитуда этих колебаний будет меньше $d$. Предельная скорость $v_{пр}$ частицы, при которой выполняется это условие, определяется равенством
$$
\begin{gathered}
v_{пр} \sin \alpha=\omega_0 d=d \sqrt{\frac{e\varrho}{m \varepsilon_0}} ; \\
v_{пр}=\frac{d}{\sin \alpha} \sqrt{\frac{e\varrho}{m \varepsilon_0}} .
\end{gathered}
$$При скоростях $v< v_{пр}$ частица проникает в положительно заряженный слой на некоторую глубину, а затем «выталкивается» из него. Время $t$, которое частица проводит внутри слоя, — это половина периода колебаний с частотой $\omega_0$, то есть
$$
t=\frac{T}{2}=\pi \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{e\varrho}} ;
$$За это время частица смещается по вертикали на расстояние
$$
y=t v \cos \alpha=\pi v \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{e\varrho}} \cos \alpha .
$$На таком расстоянии от точки $A$ частица вылетит из положительно заряженного слоя.