1  ^?? При каких значениях коэффициента трения $\mu$ груз $m_{1}$ и доска $m_{2}$ будут двигаться как единое целое (без проскальзывания)?

Обозначим натяжение нити через $T$. Запишем второй закон Ньютона для всех трёх тел:
$$
m_{1} a_{1}=T-F_{тр}, \quad m_{2} a_{2}=F_{тр}, \quad M a_{1}=M g-T.
$$
Здесь $a_{1}$ и $a_{2}$ – ускорение груза и доски соответственно. Из этих уравнений получим:
$$
a_{1}=\frac{M g-F_{тр}}{m_{1}+M}, \quad a_{2}=\frac{F_{тр}}{m_{2}}.
$$
При движении без проскальзывания $a_{1}=a_{2}$:
$$
\frac{M g-F_{тр}}{m_{1}+M}=\frac{F_{тр}}{m_{2}}, \quad \text { откуда } \quad F_{тр}=\frac{M m_{2}}{m_{1}+m_{2}+M} g .
$$
При этом сила трения по по модулю не превышает значения $\mu m_{1} g$. Следовательно,
$$
\mu_{\min }=\frac{M m_{2}}{m_{1} (m_{1}+m_{2}+M)}.
$$

2  ^?? Найдите минимальное значение коэффициента трения $\mu_{\min }$, при котором возможно движение без проскальзывания.

Подставляя числовые значения масс всех грузов, получим:
$$
\mu_{\min }=\frac{1}{2}.
$$
При $\mu \geq \mu_{\min }$ скольжения нет, а при $\mu<\mu_{\min }$ груз будет скользить по доске.

3  ^?? Пусть $\mu=\mu_{\min } / 2 $. В этом случае груз $m_{1}$ и доска $m_{2}$ будут двигаться с разными ускорениями. Через какое время $t$ после начала движения груз соскользнёт с доски?

Пусть теперь $\mu=\mu_{\min } / 2=1 / 4$, тогда:
$$
a_{1}=\frac{M-\mu m_{1}}{m_{1}+M} g, \quad a_{2}=\frac{m_{1}}{m_{2}} \mu g.
$$
Относительное ускорение:
$$
a_{отн}=a_{1}-a_{2}=g\left(\frac{M-\mu m_{1}}{m_{1}+M}-\mu \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)=\frac{g}{4}.
$$
Из соотношения $L=a_{отн} t^{2} / 2$ находим время соскальзывания груза с доски:
$$
t=\sqrt{\frac{2 L}{a_{отн}}}=0.9~с.
$$