1  ^?? Через какое время $t_{0}$ шайба вернётся в исходную точку при отсутствии трения?

При отсутствии трения время возврата:
$$
t_{0}=\frac{2 v_{0}}{g \sin \alpha}.
$$

2  ^?? При каких значениях коэффициента трения шайба возвратится назад?

При наличии сухого трения шайба скользит вверх по наклонной плоскости с отрицательным ускорением, равным по модулю:
$$
a_{1}=g(\sin \alpha+\mu \cos \alpha).
$$
Время $t_{1}$ подъёма шайбы до остановки:
$$
t_{1}=\frac{v_{0}}{a_{1}}=\frac{v_{0}}{g(\sin \alpha+\mu \cos \alpha)}.
$$
При этом шайба до остановки пройдёт путь:
$$
s=v_{0} t_{1}-\frac{a_{1} t_{1}^{2}}{2}=\frac{v_{0} t_{1}}{2}=\frac{v_{0}^{2}}{2 g(\sin \alpha+\mu \cos \alpha)}.
$$
После остановки в верхней точке шайба начнёт скользить вниз по наклонной плоскости при условии $\mu<\operatorname{tg} \alpha$. В этом случае ускорение шайбы:
$$
a_{2}=g(\sin \alpha-\mu \cos \alpha).
$$
Время $t_{2}$ спуска найдём по формуле $t_{2}^{2}=2 S / a_{2}$:
$$
t_{2}=\frac{v_{0}}{g} \frac{1}{\sqrt{\sin ^{2} \alpha-\mu^{2} \cos ^{2} \alpha}}.
$$

3  ^?? Определите время $t_{\mu}$ возврата шайбы в исходную точку при наличии трения.

Время $t_{\mu}$ возврата шайбы:
$$
t_{\mu}=t_{1}+t_{2}=\frac{v_{0}}{g}\left(\frac{1}{\sin \alpha+\mu \cos \alpha}+\frac{1}{\sqrt{\sin ^{2} \alpha-\mu^{2} \cos ^{2} \alpha}}\right).
$$
Введём обозначение:
$$
x=\frac{\mu}{\operatorname{tg} \alpha}.
$$
Тогда выражение для $t_{\mu}$ можно преобразовать к виду:
$$
t_{\mu}=\frac{v_{0}}{g \sin \alpha}\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).
$$

4  ^?? При каком значении коэффициента трения $\mu$ время $t_{\mu}$ будет равно $t_{0}$ - времени возврата шайбы при отсутствии трения?

При $x \rightarrow 1$ время $t_{\mu} \rightarrow \infty$. Найдём условие, при котором $t=t_{0}$. Приравняв $t=t_{0}$, получим:
$$
\frac{1}{1+x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=2.
$$
Это уравнение можно привести к виду
$$
1+2 x=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}, \quad \text { откуда } \quad 2 x^{3}-x=0.
$$
Так как $x \geq 0$, находим корни $x_{1}=0$ и $x_{2}=1 / \sqrt{2}$. Корень $x=0$ соответствует движению без трения. Следовательно, нам подходит только корень $x_{2}$, откуда получаем ответ
$$
\mu_{0}=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{2}}.
$$