1  ^?? До какого напряжения зарядятся конденсаторы? Внутренним сопротивлением аккумулятора пренебрегите.

Найдем заряд на конденсаторах:
$$
\mathscr{E}=\frac{q}{2 C}+\frac{q}{C},
$$
откуда $q=2 C \mathscr{E} / 3$. Тогда напряжения на конденсаторах:
$$
U_{C}=\frac{2 \mathscr{E}}{3}, \quad U_{2 C}=\frac{\mathscr{E}}{3}.
$$

2  ^?? После того, как конденсаторы полностью зарядятся, замыкают ключ $K_{2}$ и размыкают его тогда, когда ток через аккумулятор уменьшается в $2$ раза. Найдите количество теплоты $Q$, выделившееся в цепи за время, прошедшее с момента замыкания ключа $K_{2}$ до момента его размыкания.

Пусть сила тока через аккумулятор равен $I$, через конденсатор $C-I_{C}$, а через резистор $-I_{R}$ (см. рисунок).

В процессе перезарядки сумма напряжений на конденсаторах в любой момент времени равна $\mathscr{E}$, следовательно:
$$
\frac{I_{C} d t}{C}=\frac{I d t}{2 C}.
$$
Получаем $I=2 I_{C}$, откуда:
$$
I_{R}=I+I_{C}=\frac{3}{2} I=\frac{U_{C}}{R},
$$
следовательно, когда сила тока через аккумулятор уменьшится в два раза, новый заряд на конденсаторе $C$ также уменьшится в два раза, то есть:
$$
q_{C}^{\prime}=\frac{q_{C}}{2}=\frac{C \mathscr{E}}{3}.
$$
Соответственно, заряд на конденсаторе $2 C$:
$$
q_{2 C}^{\prime}=2 C\left(\mathscr{E}-\frac{q_{C}}{C}\right)=\frac{4}{3} C \mathscr{E}.
$$
Запишем закон сохранения энергии:
$$
W_{C}+W_{2 C}+A=Q+W_{C}^{\prime}+W_{2 C}^{\prime},
$$
где $W$ – энергия конденсатора, $A=\mathscr{E} \Delta q$ – работа аккумулятора.
Получаем:
$$
Q=\frac{q^{2}}{2 C}+\frac{q^{2}}{4 C}+\mathscr{E}\left(q_{2 C}^{\prime}-q_{2 C}\right)-\frac{q_{C}^{\prime 2}}{2 C}-\frac{q_{2 C}^{\prime 2}}{4 C} .
$$
Подставив значения зарядов, найдём:
$$
Q=\frac{C \mathscr{E}^{2}}{2}.
$$