Пусть при заполнении сосуда газом снаружи в сосуд перешёл газ, ранее занимавший объём $V$ (см. рисунок).
Внешнее давление при «продавливании» внутрь этого объёма совершает работу $A_{внеш}=P_{0} V$.
Закон сохранения энергии для системы газ в сосуде $+$ «внешний» газ объёма $V+$ поршень выглядит так:
$$
U_{1}+U_{2}+A_{внеш}=U+\Delta E_{п}, \quad (1)
$$
где $U_{1}$ — внутренняя энергия исходного газа в сосуде, $U_{2}$ — энергия «внешнего» газа из объёма $V$, $U$ — энергия газа в сосуде после заполнения, $E_{п}$ — изменение потенциальной энергии поршня.
$$
\begin{gathered}
U_{1}=\frac{3}{2} \frac{P_{0}}{2} V_{0} ; \quad U_{2}=\frac{3}{2} P_{0} V ; \quad U=\frac{3}{2} P_{0} 2 V_{0}, \quad (2)
\\
\Delta E_{п}=m g \Delta h=\frac{P_{0}}{2} S \Delta h=\frac{P_{0}}{2} V_{0}. \quad (3)
\end{gathered}
$$
Подставляя $(2)$ и $(3)$ в уравнение $(1)$, после преобразований получим:
$$
\begin{gathered}
\frac{5}{2} P_{0} V=\frac{11}{4} P_{0} V_{0}, \quad (4)
\\
V=\frac{11}{10} V_{0}. \quad (5)
\end{gathered}
$$
Исходное число молей газа в сосуде
$$
\nu_{1}=\frac{P_{0} V_{0}}{2 R T_{0}},
$$
число молей «внешнего» газа в сосуде
$$
\nu_{2}=\frac{11}{10} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}.
$$
Полное число молей
$$
\nu=\nu_{1}+\nu_{2}=\frac{8}{5} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}.
$$
Из уравнения состояния:
$$
\frac{P_{0} \cdot 2 V_{0}}{R T}=\frac{8}{5} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}, \quad (6)
$$
откуда получаем ответ:
$$
T=\frac{5}{4} T_{0}.
$$