В любой момент времени отношение расстояний между частицами $r_{1} : r_{2} : r_{3}$ остается равным отношению исходных расстояний $R_{1} : R_{2} : R_{3}$, поскольку конфигурации частиц являются подобными треугольниками. По этой же причине углы $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ при вершинах $m_{1}$, $m_{2}$, $m_{3}$ остаются неизменными (см. рисунок).
Отсюда следует, что направления ускорений частиц и отношения модулей этих ускорений также не меняются. Поэтому отношение перемещений двух частиц равно отношению их ускорений в начальный момент времени.
Рассмотрим две параллельные стороны треугольников, например, $R_{3}$ и $r_{3}$. Проведём к ним перпендикуляр $O N$. Из параллельности сторон следует, что проекции смещений частиц $m_{1}$ и $m_{2}$ на $O N$ равны, значит равны и проекции их ускорений в начальный момент времени. Заметим, что взаимодействие частиц $m_{1}$ и $m_{2}$ не меняет проекцию их ускорений на перпендикуляр, поэтому нужно учесть только взаимодействие с зарядом $m_{3}$. Исходя из закона Кулона и второго закона Ньютона получим следующие выражения для проекций ускорений на перпендикуляр в начальный момент времени:
$$
a_{1 \perp}=\frac{k q^{2} \sin \alpha_{1}}{m_{1} R_{2}^{2}}=a_{2 \perp}=\frac{k q^{2} \sin \alpha_{2}}{m_{2} R_{1}^{2}}.
$$
Согласно теореме синусов
$$
\frac{\sin \alpha_{1}}{R_{1}}=\frac{\sin \alpha_{2}}{R_{2}}.
$$
Поэтому из предшествующего равенства следует, что
$$
\frac{1}{m_{1} R_{2}^{3}}=\frac{1}{m_{2} R_{1}^{3}},
$$
откуда
$$
m_{1}: m_{2}=R_{1}^{3}: R_{2}^{3}.
$$
Аналогичным образом найдём отношение масс $m_{2}: m_{3}=R_{2}^{3}: R_{3}^{3}$.
Следовательно,
$$
m_{1}: m_{2}: m_{3}=R_{1}^{3}: R_{2}^{3}: R_{3}^{3}.
$$
$\textit{Примечание}$. Можно строго доказать, что при найденном отношении масс частицы действительно будут двигаться так, как указано в условии.