Перед ударом о землю скорость мешочка равна $v_{0}$ и направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Во время соударения на мешочек действует вертикальная сила реакция опоры $N$ и горизонтальная сила трения $F$. Если в течение всего удара выполняется равенство $F=\mu N$, то импульс, сообщённый мешочку силой трения, будет в $\mu$ раз больше импульса, сообщённого силой реакции:
$$
P_{N}=m v_{y}=m v_{0} \sin \alpha, \quad P_{F}=\mu P_{N}=\mu m v_{0} \sin \alpha.
$$
Отсюда можно найти скорость мешочка по окончании удара:
$$
m u=m v_{x}-\mu m v_{y}, \quad u=v_{0}(\cos \alpha-\mu \sin \alpha).
$$
При $\mu>\operatorname{ctg} \alpha$ скорость $u$ в предположении $F=\mu N$ получается отрицательной. Это означает, что в этом случае горизонтальная скорость мешочка обратится в ноль ещё до окончания удара по вертикали, то есть мешочек сразу после удара будет неподвижен.
Таким образом, в этой задаче возможны два случая, требующие раздельного рассмотрения.
$1$. При $\operatorname{ctg} \alpha<\mu$ мешочек в результате удара останавливается, дальность полёта равна
$$
L_{1}=\frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \alpha.
$$
В таком случае дальность полета не превосходит
$$
L_{1 \max }=\frac{v_{0}^{2}}{g},
$$
при этом максимальная дальность $L_{1 \max }$ соответствует $\alpha_{0}=45^{\circ}$. Заметим, что этот максимум действительно достигается только при $\mu>1$, когда $\operatorname{ctg} \alpha_{0}<\mu$.
$2$. При $\operatorname{ctg} \alpha>\mu$ мешочек после удара некоторое время скользит по поверхности, проходя дополнительное расстояние. Полная дальность $L_{2}$ в этом случае складывается из дальности полёта $l_{1}$ и расстояния $l_{2}$, пройденного мешочком по поверхности до остановки:
$$
l_{1}=\frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \alpha, \quad l_{2}=\frac{u^{2}}{2 a},
$$
где $u=v_{0}(\cos \alpha-\mu \sin \alpha)$, $a=\mu g$. Полная дальность $L_{2}$ равна:
$$
\begin{aligned}
&L_{2}=l_{1}+l_{2}=\frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \alpha+\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g}(\cos \alpha-\mu \sin \alpha)^{2}= \\
&=\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g}\left(4 \mu \sin \alpha \cos \alpha+(\cos \alpha-\mu \sin \alpha)^{2}\right)=\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g}(\cos \alpha+\mu \sin \alpha)^{2}.
\end{aligned}
$$
Максимум выражения $\cos \alpha+\mu \sin \alpha$ достигается при $\operatorname{tg} \alpha=\mu$ и равен $\sqrt{\mu^{2}+1}$, поэтому для максимальной дальности во втором случае получаем
$$
L_{2 \max }=\frac{v_{0}^{2}}{g} \frac{\mu^{2}+1}{2 \mu}.
$$
Этот результат можно получить проще, если заметить, что при выполнении условия $F=\mu N$ сумма сил трения и нормальной реакции всегда составляет с вертикалью угол $\varphi$ такой, что $\operatorname{tg} \varphi=\mu$. По этой причине проекция мешочка на ось, составляющую угол $\varphi$ с горизонтом движется равноускоренно с ускорением $a=-g \sin \varphi$ во время полёта, удара и скольжения. Отсюда легко находится максимальная дальность:
$$
\begin{gathered}
L \cos \varphi=\frac{\left(v_{0} \cos (\alpha-\varphi)\right)^{2}}{2 g \sin \varphi}, \quad L=\frac{\left(v_{0} \cos (\alpha-\varphi)\right)^{2}}{g \sin 2 \varphi},
\\
L_{2 \max }=\frac{v_{0}^{2}}{g \sin 2 \varphi} \text { при } \alpha=\varphi.
\end{gathered}
$$
Максимальная дальность во втором случае не меньше, чем в первом. Это означает, что если условие $\operatorname{tg} \alpha=\mu$ не противоречит условию $\operatorname{ctg} \alpha>\mu$, то есть при $\mu<1$, максимальная дальность равна $L_{2 \max }$.
При $\mu>1$ дальность $L_{2}$ монотонно растёт с увеличением угла $\alpha$, поэтому её максимальное значение соответствует максимально возможному значению угла, которое определяется условием $\operatorname{ctg} \alpha=\mu$:
$$
\begin{gathered}
L_{2 \max }=\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g}(\cos \alpha+\mu \sin \alpha)^{2}=\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 \mu g}(\operatorname{ctg} \alpha+\mu)^{2}= \\
=\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g} \frac{(\operatorname{ctg} \alpha+\mu)^{2}}{1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha}=\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g} \frac{(2 \mu)^{2}}{1+\mu^{2}}=\frac{v_{0}^{2}}{g} \frac{2 \mu}{1+\mu^{2}} \leq \frac{v_{0}^{2}}{g}=L_{1 \max }.
\end{gathered}
$$
Поэтому при $\mu>1$ максимально возможной будет дальность $L_{1}$.
Окончательно:
$$
L_{\max }= \begin{cases}\frac{v_{0}^{2}}{g} \frac{\mu^{2}+1}{2 \mu}, & \text { при } \operatorname{tg} \alpha_{\max }=\mu, \quad \text { если } \mu \leq 1,
\\
\frac{v_{0}^{2}}{g}, & \text { при } \alpha_{\max }=45^{\circ}, \quad \text { если } \mu>1.
\end{cases}
$$