1  ^?? Какой заряд протёк через резистор $R$ пока ключ был замкнут?

Тепло $Q_{2}$, выделившееся в схеме после размыкания ключа, равно энергии конденсатора в момент размыкания:
$$
Q_{2}=\frac{q_{C}^{2}}{2 C},
$$
откуда находим заряд конденсатора в момент размыкания ключа
$$
q_{C}=\sqrt{2 C Q_{2}}=2.00~мКл.
$$
Количество теплоты, выделившееся в схеме за все время, равно работе источника:
$$
\mathscr{E} q_{\mathscr{E}}=Q_{1}+Q_{2},
$$
поэтому через источник протек заряд
$$
q_{\mathscr{E}}=\frac{Q_{1}+Q_{2}}{\mathscr{E}}=2.11~мКл.
$$
Тогда через резистор $R$ протёк заряд
$$
q_{R}=q_{\mathscr{E}}-q_{C}=\frac{Q_{1}+Q_{2}}{\mathscr{E}}-\sqrt{2 C Q_{2}}=0.11~мКл.
$$

2  ^?? На какое время замкнули ключ?

При замкнутом ключе в произвольный момент времени справедливо следующее из второго правила Кирхгофа равенство:
$$
\mathscr{E}=I_{R} R+I_{r} r .
$$
Домножив его на малое время $\Delta t$, получим связь протекших за это время зарядов:
$$
\mathscr{E} \Delta t=R I_{R} \Delta t+r I_{r} \Delta t=R \Delta q_{R}+r \Delta q_{r}.
$$
Просуммировав подобные равенства за всё время до размыкания ключа, получим:
$$
\mathscr{E} t=R q_{R}+r q_{r},
$$
откуда с учётом $q_{r}=q_{\mathscr{E}}$ получаем:
$$
t=\frac{R q_{R}+r q_{\mathscr{E}}}{\mathscr{E}}=\frac{R+r}{\mathscr{E}^{2}}\left(Q_{1}+Q_{2}\right)-\frac{R}{\mathscr{E}} \sqrt{2 C Q_{2}}=30.4~с.
$$
$\textit{Примечание}$. На самом деле условие задачи избыточно. Ответы на все вопросы условия можно получить, не зная количества тепла $Q_{1}$. Значение $Q_{2}$ однозначно определяет напряжение, до которого зарядился конденсатор, что в свою очередь определяет время зарядки. Если установить зависимость всех токов в цепи от времени, можно узнать и все протекшие заряды. Однако решение, не использующее значение $Q_{1}$ требует решения дифференциального уравнения. Для полноты приведем и это решение.
C помощью правил Кирхгофа выразим ток через конденсатор (при разомкнутом ключе) через напряжение $U$ на нем:
$$
I_{C}=I_{r}-I_{R}=\frac{1}{r}\left(\mathscr{E}-I_{R} R\right)-I_{R}=\frac{\mathscr{E}}{r}-U\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{R}\right)=\left(U_{0}-U\right) \frac{R+r}{R r}.
$$
Здесь $U_{0}=R \mathscr{E} /(R+r)=3~В$. С другой стороны, ток через конденсатор
$$
I_{C}=\frac{\Delta q_{c}}{\Delta t}=C \frac{\Delta U}{\Delta t}=C \frac{d U}{d t}.
$$
Таким образом получаем уравнение
$$
C \frac{d U}{d t}=\left(U_{0}-U\right) \frac{R+r}{R r}.
$$
Его решение, удовлетворяющее начальному условию $U(0)=0$ (в начальный момент времени конденсатор не заряжен) имеет вид
$$
U(t)=U_{0}\left(1-e^{-t / \tau}\right), \quad \tau=C \frac{R r}{R+r}=75~с.
$$
Напряжение на конденсаторе в момент размыкания ключа
$$
U_{1}=\frac{q_{c}}{C}=\sqrt{\frac{2 Q_{2}}{C}}=1~В.
$$
Отсюда находим время, в течение которого ключ был замкнут
$$
t=-\tau \ln \left(1-\frac{U_{1}}{U_{0}}\right)=30.4~с.
$$
Зная зависимость напряжения от времени, можно найти и ток $I_{R}(t)$, а проинтегрировав его – заряд, протекший через резистор:
$$
\begin{gathered}
I_{R}(t)=\frac{U_{0}}{R}\left(1-e^{-t / \tau}\right);
\\
q_{R}=\int \limits_{0}^{t} d t_{1} I_{R}\left(t_{1}\right)=\frac{U_{0}}{R}\left(t-\tau\left(1-e^{-t / \tau}\right)\right);
\\
q_{R}=\frac{U_{0} \tau}{R}\left(-\ln \left(1-\frac{U_{1}}{U_{0}}\right)-\frac{U_{1}}{U_{0}}\right)=0.11~мК.
\end{gathered}
$$
Как и следовало ожидать, мы получили те же самые ответы. В принципе, можно было бы вычислить мощность выделения тепла и получить значение $Q_{1}$, приведенное в условии. Подчеркнем, что от участников олимпиады не требовалось приводить решения, не использующего значение $Q_{1}$, так как не подразумевалось умения решать дифференциальные уравнения.