Дальность полёта шарика, выпущенного из катапульты под углом $\varphi$ к горизонту, равна
$$
L=v_{0} \cos \varphi \cdot \frac{2 v_{0} \sin \varphi}{g}=\frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \varphi.
$$
Так как шарики имеют одинаковую начальную скорость и попадают в одну и ту же точку, углы $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, под которыми их выпускают, удовлетворяют условию $\sin 2 \varphi_{1}=\sin 2 \varphi_{2}$. С учетом того, что углы острые и не равны друг другу, отсюда следует равенство
$$
\varphi_{1}+\varphi_{2}=\frac{\pi}{2}.
$$
Геометрически это условие означает, что векторы начальных скоростей шариков направлены симметрично относительно луча, образующего угол $\pi / 4$ с горизонтом (см. рисунок).
Пусть $\alpha$ — угол между этим лучом и каждой из скоростей. Время, в течение которого оба шарика находятся в полете, определяется временем полета нижнего шарика (верхний шарик летит дольше):
$$
t_{п}=\frac{2 v_{0} \sin (\pi / 4-\alpha)}{g}.
$$
В течение всего времени полета нижнего шарика ускорения обоих шариков одинаковы, поэтому их относительная скорость постоянна. Модуль этой скорости равен
$$
\Delta v=2 v_{0} \sin \alpha.
$$
Расстояние между шариками увеличивается со скоростью $\Delta v$ и за время $t_{п}$ достигает своего максимального для данного угла запуска значения
$$
L=\Delta v t_{п}=\frac{4 v_{0}^{2}}{g} \sin \alpha \sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{2 v_{0}^{2}}{g}\left(\cos \left(2 \alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\cos \frac{\pi}{4}\right).
$$
Максимум этого выражения достигается, когда $\cos (2 \alpha-\pi / 4)=1$, то есть $\alpha=\pi / 8$. Значит,
$$
L_{\max }=\frac{2 v_{0}^{2}}{g}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),
$$
откуда начальная скорость равна
$$
v_{0}=\sqrt{\frac{L_{\max } g}{2-\sqrt{2}}}=18~м/с.
$$