Пусть $I$ — сила тока в резисторе $R$, $J$ — сила тока в резисторе $r$, $q$ — заряд, протекший через резистор $R$ после замыкания ключа (заряд конденсатора). За достаточно малое время, при котором изменением напряжения на резисторе $R$ можно пренебречь, выделившаяся на резисторе теплота равна произведению этого напряжения на протекший заряд:
$$
\delta Q=U \Delta q=I R \Delta q.
$$
Отсюда следует, что полная теплота численно равна умноженной на $R$ площади под графиком зависимости силы тока $I$ через резистор $R$ от протекшего через него заряда $q$. Найдём эту зависимость. Из уравнений
$$
I_{0}=I+J, \quad J r=I R+\frac{q}{C},
$$
получаем
$$
I_{0} r=I(r+R)+\frac{q}{C}.
$$
Таким образом, график зависимости $I(q)$ представляет собой прямую, пересекающую оси в точках $\left(I_{0} r\right) /(r+R)$ и $C I_{0} r$. Площадь под этим графиком
$$
S=\frac{1}{2} I_{0} \frac{r}{r+R} C I_{0} r=\frac{C I_{0}^{2} r^{2}}{2(r+R)}.
$$
Отсюда находим ответ
$$
Q=S R=\frac{C R I_{0}^{2} r^{2}}{2(r+R)}.
$$