Из второго закона Ньютона найдем ускорение точки массы $m$
$$
a_{1}=-k \frac{q^{2}}{m r^{2}}+\frac{q E}{m}
$$
и ускорение точки массы $M$
$a_{2}=k \frac{q^{2}}{M r^{2}}+\frac{q E}{M}$.
Здесь $r$ – расстояние между точками, $k=1 /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right)$, за положительное выбрано направление от $m$ к $M$. Найдем относительное ускорение точек:
$$
a_{отн}=a_{2}-a_{1}=k \frac{q^{2}}{r^{2}} \frac{M+m}{M m}-q E \frac{M-m}{M m}.
$$
Таким же уравнением описывается и одномерное движение точечного заряда $q$ массой $\mu=(M+m) /(M m)$, находящегося в поле неподвижного точечного заряда $q$ и в однородном поле $-E_{1}=-E(M-m) /(M+m)$. Будем рассматривать эту эквивалентную задачу. Потенциальная энергия заряда:
$$
U(r)=k \frac{q^{2}}{r}+q E_{1} r.
$$
Из графика зависимости $U(r)$ (см. рисунок выше) видим, что движение заряда происходит в ограниченной области $l_{1} \leq r \leq l_{2}$; $l_{1}$ и $l_{2}$ – корни уравнения
$$
U_{0}=k \frac{q^{2}}{r}+q E_{1} r,
$$
или
$$
r^{2}-\frac{U_{0}}{q E_{1}} r+\frac{k q}{E_{1}}=0.
$$
По теореме Виета произведение корней не зависит от $U_{0}$ и равно $l_{1} l_{2}=l_{0}^{2}$, где $l_{0}=\sqrt{k q / E_{1}}$. Таким образом, получаем, что если начальное расстояние $l$ меньше, чем $l_{0}$, то расстояние между зарядами будет увеличиваться до максимального значения $l_{0}^{2} / l$, а затем уменьшаться. Если же $l<l_{0}$, то начальное расстояние и будет максимальным. При $l=l_{0}$ расстояние между зарядами меняться не будет.
Ответ: максимальное расстояние между зарядами равно $l$ при $l \geq \sqrt{k q / E_{1}}$ и равно $k q / l E_{1}$ при $l<\sqrt{k q / E_{1}}$.