При упругом ударе бруска $1$ о стену изменяется направление его скорости при сохранении величины скорости. В этот момент времени скорости равны $v_{1}=-v$, $v_{2}=v_{3}=v$ (см. рисунок).
Резинка будет максимально натянутой, когда скорость увеличения её длины станет равна нулю. Эту скорость можно выразить через скорости брусков в момент максимального растяжения:
$$
v_{растяжения}=2 v_{3}-v_{2}-v_{1}=0. \quad (1)
$$
На систему не действуют внешние силы, поэтому, из закона сохранения импульса следует:
$$
v_{3}+v_{2}+v_{1}=v. \quad (2)
$$
Запишем второй закон Ньютона для первого и второго брусков:
$$
m \frac{\Delta v_{2}}{\Delta t}=T, \quad m \frac{\Delta v_{1}}{\Delta t}=T.
$$
Отсюда видно, что изменение скоростей первого и второго бруска в любой момент времени связано соотношением $\Delta v_{1}=\Delta v_{2}$, а значит, и суммарные изменения скоростей связаны таким же образом:
$$
v_{2}-v=v_{1}-(-v). \quad (3)
$$
Из трех уравнений $(1)$, $(2)$, $(3)$ получаем значения скоростей в момент времени, когда резинка максимально растянута
$$
v_{1}=-\frac{2}{3} v, \quad v_{2}=\frac{4}{3} v, \quad v_{3}=\frac{1}{3} v.
$$
Обозначим скорости брусков в момент времени, когда резинка снова не натянута, как $v_{1}$, $v_{2}$, $v_{3}$. Закон сохранения импульса $(2)$ и связь между скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ $(3)$ остаются прежними.
Условием того, что резинка не натянута, является равенство нулю потенциальной энергии резинки. Из закона сохранения энергии следует:
$$
3 v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}. \quad (4)
$$
Из уравнений $(2)$, $(3)$, $(4)$ получаем два решения. Первое решение
$$
v_{1}=-v, \quad v_{2}=v, \quad v_{3}=v,
$$
соответствует начальной ситуации, которая больше не повторится. Второе решение
$$
v_{1}=-\frac{1}{3} v, \quad v_{2}=\frac{5}{3} v, \quad v_{3}=-\frac{1}{3} v,
$$
является ответом на второй вопрос задачи.