1  ^?? Навстречу автомобилю подул ветер со скоростью $v_{0}=20~м/с$ (относительно земли). С какой установившейся скоростью $v_{1}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась, а конвейер неподвижен?

Сила трения $F_{в}$ между автомобилем и воздухом и сила трения качения $F_{к}$ уравновешиваются силой трения $F_{т}$ между колёсами и дорогой. Момент силы трения $M$ равен по модулю моменту, развиваемому двигателем машины:
$$
M=F_{т} r=F_{в} r+F_{к} r,
$$
где $r$ — радиус колёс машины. Двигатель развивает мощность
$$
P=M \omega=M \frac{v_{отн}}{r}=\left(F_{в}+F_{к}\right) v_{отн},
$$
где $v_{отн}$ — скорость движения автомобиля относительно конвейера, $\omega$ — угловая скорость вращения колёс. По условию $F_{в}=k v_{в}^{2}$, где $v_{в}$ — скорость движения воздуха относительно автомобиля. Запишем выражения для мощностей, затрачиваемых на преодоление сопротивления воздуха и трения качения в случае неподвижного конвейера и отсутствия ветра:
$$
\frac{P}{2}=k v_{0}^{3}=F_{к} v_{0}.
$$
Отсюда найдем коэффициент пропорциональности в зависимости силы сопротивления воздуха от скорости и силу трения качения:
$$
k=\frac{P}{2 v_{0}^{3}}, F_{к}=\frac{P}{2 v_{0}}.
$$
В случае неподвижного конвейера и дующего навстречу ветра мощность двигателя равна
$$
P=\left(k\left(v_{1}+v_{0}\right)^{2}+F_{к}\right) v_{1},
$$
откуда получаем уравнение на скорость:
$$
\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)^{3}+2\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)^{2}+2\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)-2=0 .
$$
Это уравнение имеет ровно один корень из промежутка $0$$
v_{1} \approx 0.575 v_{0} \approx 11.5~м/с.
$$

2  ^?? В некоторый момент ветер утих, а конвейер стал двигаться с постоянной скоростью $v_{0}=20~м/с$ в сторону, противоположную движению автомобиля. С какой установившейся скоростью $v_{2}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась?

Аналогично в случае движущегося конвейера мощность двигателя:
$$
P=\left(k v_{2}^{2}+F_{к}\right)\left(v_{0}+v_{2}\right),
$$
соответствующее уравнение на скорость:
$$
\left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)^{3}+\left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)-1=0 .
$$
Его решение также единственно, находим ответ численно:
$$
v_{2} \approx 0.544 v_{0} \approx 10.9~м/с.
$$