1  ^?? Найдите потенциал $\varphi_{ш}$ шара.

Электрическое поле в материале шара равно нулю, так как он проводящий. Поэтому поток электрического поля через произвольную поверхность, окружающую полость и полностью находящуюся в материале шара, также равен нулю. Согласно теореме Гаусса это означает, что сумма зарядов, окруженных поверхностью (то есть заряда $q_{1}$ и заряда, индуцированного на стенке полости), равна нулю. Таким образом, на стенке полости индуцирован заряд, равный $-q_{1}$. Так как объёмных зарядов в проводнике нет, а суммарный заряд шара $Q$, заряд на поверхности шара равен $Q+q_{1}$.
Заряды внутри и на стенке полости распределены так, что не создают поля снаружи от полости. Значит, полость вместе с зарядом $q_{1}$ и индуцированными зарядами на её стенке можно мысленно удалить, при этом потенциалы точек вне полости (в том числе и потенциал шара) не изменятся. Поскольку потенциалы всех точек проводника одинаковы, потенциал шара равен потенциалу его центра. Он создаётся только зарядом на поверхности $Q+q_{1}$ и зарядом $q_{2}$.
Разбивая поверхность шара на малые участки с зарядами $\Delta Q_{i}$, получим, что поверхностный заряд создаёт в центре потенциал
$$
\varphi_{1}=\sum_{i} \frac{k \Delta Q_{i}}{R}=\frac{k}{R} \sum_{i} \Delta Q_{i}=\frac{k\left(Q+q_{1}\right)}{R}.
$$
Таким образом, потенциал шара:
$$
\varphi_{ш}=k\left(\frac{Q+q_{1}}{R}+\frac{q_{2}}{r_{2}}\right) .
$$

2  ^?? Найдите потенциал $\varphi_{O}$ в центре $O$ полости.

Рассмотрим разность потенциалов $\varphi_{O}$ в центре полости и $\varphi_{A}$ в некоторой точке $A$ на её стенке. Вклад заряда на стенке полости в $\varphi_{O}$ рассчитывается аналогично $\varphi_{C}$, на зависит от распределения заряда по стенке и равен $k\left(-q_{1}\right) / r$. Получаем, что заряд $q_{1}$ и заряд на стенке полости создают потенциалы
$$
\varphi_{O}^{\prime}=\frac{k q_{1}}{r_{1}}-\frac{k q_{1}}{r}, \varphi_{A}^{\prime}=0
$$
в центре полости и в точке $A$ соответственно. Заряд на поверхности шара экранирует поле заряда $q_{2}$, поэтому эти заряды не создают поля внутри шара, а значит, не влияют на разность потенциалов $\varphi_{O}-\varphi_{A}$, где $\varphi_{A}=\varphi_{ш}$. Таким образом
$$
\varphi_{O}-\varphi_{A}=\varphi_{O}^{\prime}-\varphi_{A}^{\prime}=\frac{k q_{1}}{r_{1}}-\frac{k q_{1}}{r}
$$
Отсюда находим ответ для потенциала
$$
\varphi_{O}=k\left(\frac{Q+q_{1}}{R}+\frac{q_{2}}{r_{2}}+q_{1}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r}\right)\right) .
$$