日常生活中使用着各种用于测量物体质量的天平。本题涉及与等臂天平和罗伯瓦尔天平相关的物理原理。虽然这些天平的目的是相同的，但它们的结构略有不同，工作原理也各异。

假设支点处存有微小摩擦力，它会使天平最终达到静止状态。然而，这个摩擦力足够微小，以至于不会影响由力矩平衡造成的平衡角度。因此，在计算中可以忽略摩擦力和空气阻力。

A. 等臂天平的灵敏度

等臂天平由一根绕固定轴（支点）转动的横梁（力臂）以及悬挂在横梁两侧的两个质量相等的秤盘组成。如果放置在秤盘上的质量不同，横梁会向较重的一侧倾斜，从而达到新的平衡。

在横梁运动过程中，悬挂的秤盘可能会摆动。尽管由于这种摆动造成秤盘和物体组成的系统施加在横梁上的力可能会随时间变化，但我们可近似将该力视为秤盘和物体的总重量，忽略摆动的影响。

如果即使只有微小质量差异的情况下，天平横梁也会倾斜很大的角度，则该天平视为灵敏度高。本题的A部分探讨了灵敏度的问题。

假设横梁为厚度可忽略不计的平板。设$O$ 为固定点，$L$ 和$R$ 分别为左右托盘的悬挂点。如图2所示，横梁的质心与点$O$ 重合。旋转轴穿过$O$ 且垂直于横梁。与天平平衡及其灵敏度相关的物理参数和变量如下。

• $b$：支点$O$到连接 $L$ 和 $R$ 两点的连线之间的距离
• $l$：从通过 $O$ 点的垂线平分线(中垂线)到点 $L$ 和 $R$ 的水平距离
• $g$: 重力加速度
• $M$: 横梁的质量
• $m_1$: 左秤盘及承载物体的总质量
• $m_2$: 右秤盘及承载物体的总质量

$m_1 > m_2$此时，横梁会逆时针方向倾斜一个角度$\theta_0$ ，从而达到平衡。

A1 当横梁从于水平方向逆时针倾斜角度$\theta$时，求左秤盘及承载物体绕O点产生的力矩大小，并以逆时针方向为正。

A

A2 当横梁横梁从于水平方向逆时针倾斜角度$\theta$时，求右秤盘及承载物体（总质量为$m_2$ ）对点O所施加的、使横梁顺时针转动的力矩。

A

A3 用已知的变量和参数表示平衡状态下的倾斜角$\theta_0$。

A S

A4

为了使天平更灵敏（即微小的质量差异能产生更大的倾斜角度$\theta_0$），以下关于$b$ 和$l$ 的条件哪一个是正确的？（若选错，将扣0.1分。）

1. “更大的$l$”或“更大的$b$”会导致“更大”的$\mid\theta_0 \mid$。
2. 更小的 $l$或者 更小的 $b$会导致 更大的$\mid\theta_0\mid$。
3. 更大的$l$ 或更小的$b$ 会导致 更大的$\mid\theta_0\mid$。
4. 更小的$l$ 或更大的$b$ 会导致 更大的$\mid\theta_0\mid$。

A

市售天平的横梁通常在制造时，使其旋转轴（支点$O$）高于横梁的质心（CM）。然而，这种方式制造横梁会降低天平的灵敏度。为了解决这个问题并设计出灵敏度更高的天平，我们打算改变横梁的结构。 作为一种候选方案，对横梁进行了改造设计，使其支点（$O$）位于横梁质心（CM）的下方，如图3所示。设横梁的支点位于质心正下方距离为$d$ 的位置。假设横梁是一块厚度可忽略不计的平板。天平中的$M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$的含义与前一问题相同。

A5 当横梁从水平面倾斜角度$\theta_1 (< \pi/2)$ 并达到平衡时，请用已知的变量和参数来表示该倾斜角$\theta_1$ 。

A S

A6 求出横梁达到稳定平衡角$\theta_1 ( < \pi/2 )$的条件。将该条件表示为一个与$\theta_1$ 无关的不等式。

A S

B. 罗伯尔瓦尔天平的基本模型

罗伯尔瓦尔天平采用了一种平行连杆结构，其中秤盘与两根(上、下)水平横梁相连。这两根横梁通过铰链作用的支点与称盘连接。这种特殊的连接方式使得拥有两个支点的每个称盘即使在横梁倾斜时也能保持完全垂直（如图4）。当横梁转动时，两边的称盘会同步的一起运动。 该设计的一个独特之处在于：天平的平衡仅取决于每侧的总质量，而与您将砝码放置在称盘上的具体位置并无关。与该天平相关的物理参数、变量及符号如下（图5）。

• $O, O'$：两根水平横梁的固定支点
• $ I_1$: 上横梁绕其旋转轴的转动惯量
• $I_2$: 下横梁绕其旋转轴的转动惯量
• $l$: 中央支点到称盘悬挂点之间的距离
• $x_L, x_R$：砝码分别偏离左称盘和右称盘中心的水平偏移量。
• $m$: 每只称盘的重量
  
   
• $m_L, m_R$：分别放置在左、右称盘上的物体质量。 (其中$m_L \ge m_R$)
• $g$: 重力加速度。

假设每根横梁的质心（CM）与其对应的支点重合，且称盘的支点与横梁的支点均位于一条直线上。

B1 当横梁从于水平方向逆时针倾斜角度$\theta$ 时，计算该系统的总势能$U(\theta)$（$m_L \ge m_R$）。规定在初始水平位置时，势能$U$ 为零。

A

B2 用已知的变量、参数和角速度$\dot{\theta}$来表示该系统的总动能。

A

B3 求出描述旋转角 $\theta$ 随时间变化的二阶微分方程。

A S

横梁从水平位置释放的瞬间，其角加速度 $\ddot{\theta}$ 如下：

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4 在初始速度为零的瞬间，设$T_{L1}, T_{L2}$ 分别为作用于左称盘与上、下横梁之间的相互作用力的垂直分量大小。同理，设$T_{R1}, T_{R2}$ 为右称盘相应相互作用力的的垂直分量大小。请利用已知变量和参数求出 的$(T_{L2} + T_{R1})$值。

A S

B5 假设天平的所有部件（包括横梁和称盘）均为刚体，请判断在释放瞬间是否可以计算出以下各个力。（每一项请回答“Yes”、“No”或保持空白。每答错一题将扣0.1分。）

1. $T_{R1}$
2. 中央支点施加在上横梁垂直分力

列出求解此题所需的所有必要关系方程。请注意，只需要提供方程的形式，不需进行具体的最终计算。

A

B6 设$M_T$ 为不含任何砝码时天平的质量。将质量分别为$m_L$ 和$m_R$ 的砝码分别放置在天平的左盘和右盘上（$m_L > m_R$）。起初用手将横梁保持在水平状态，求释放后瞬间地板对天平施加的支持力(正向力)$N$ 。

A S

C. 罗伯尔瓦尔天平的实物模型

在B部分讨论的罗伯瓦尔天平基本模型中，质量的不平衡会导致持续的角加速度，从无法确定一个静态平衡角。相比之下，实际的罗伯瓦尔天平会根据质量差异，在特定的倾斜角下达到稳定平衡。在C部分，我们将分析这种实际罗伯瓦尔天平的物理结构。

为计算作为质量差函数的平衡角，需考虑以下变量和参数：

• 上横梁：支点（横梁的固定轴）位于横梁质心正上方的垂直距离为 $d$ 的位置。横梁的质量为$M$ ，绕其支点（固定轴）的转动惯性为 $I_1$。
• 下横梁：支点（横梁的固定轴）与横梁的质心重合。横梁绕其支点（固定轴）的转动惯性为 $I_2$。
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$)
  ：分别指左侧和右侧秤盘及其上放置在其上的任何物体的组合的总质量。
  
  （请注意，此处的记法与B部分有所不同。）
• $l$：从穿过中央支点的垂直平分线到称盘悬挂点之间的水平距离
• $g$: 重力加速度。

假设砝码相对于称盘保持静止，并与之同步云动，且称盘的支点与横梁的支点位均位同于一条直线上。

C1 将两个质量不同的砝码放置于称盘上 ，最初用手将横梁保持水平，然后从静止释放。在此情况下，倾斜角$\theta$ 的二阶运动微分方程可表示为：

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$ 。$m_1 > m_2$

用给定的变量和参数来确定系数$A,B$ 和$C$ ，并。设$\theta = 0$ 为水平位置。

S

C2 当天平处于平衡状态（$\theta = \theta_0$）时，轻微的扰动会导致横梁和称盘围绕平衡角发生振荡。为了分析这种微小振荡，我们定义一个新变量 $\eta = \theta - \theta_0$。通过对第C.1节中得到的运动方程进行近似处理，用已知的变量和参数推导出关于 $\eta$ 的主控方程(运动方程)。答案中不得包含 $\theta_0$。

A S

C3 如果总质量$m_1 + m_2$ 是一个常数，请确定质量应如何在两个称盘之间分配，才能使微小振荡的周期达到最大。并计算在 $m_1 = m_2 = 0$ 的极限情况下，微小振动。

A S