Gündelik durmuşda jisimleriň massasyny ölçemek üçin dürli tereziler ulanylýar. Bu mesele ryçagly tereziler we Roberwalyň terezisi bilen baglanyşykly fiziki prinsipler baradadyr. Bu tereziler daşyndan meňzeş görünse-de, olaryň gurluşy bir-birinden biraz tapwutlanýar we işleýiş häsiýetleri hem başgaçadyr.

Biz şarnirlerdäki ujypsyz sürtülme güýjüniň tereziniň ahyrynda dynçlyk ýagdaýyna gelmegine mümkinçilik berýändigini göz öňünde tutýarys. Emma bu sürtülme güýji aýlaw momentleriniň deňagramlylygyndan kesgitlenýän deňagramlylyk burçuna täsir etmejek derejede gaty kiçidir. Şol sebäpli, hasaplamalarda sürtülme güýjüni we howanyň garşylygyny hasaba almasaň hem bolýar.

A. Ryçagly tereziniň duýgurlygy

Ryçagly terezi, bellenen bir okuň (daýanç nokadynyň ýa-da şarniriň) daşyndan aýlanýan ryçagdan (ryçag şahasyndan) we onuň iki tarapyndan asylan deň massaly iki sany okaradan ybaratdyr. Eger okaralara goýlan jisimleriň massalary biri-birinden tapwutlanýan bolsa, ryçag deňagramlylyga ýetmek üçin agyr tarapa gyşarýar.

Ryçagyň hereketi wagtynda asylgy duran okaralar yrgyldap biler. Bu yrgyldama netijesinde okaradan we jisimden ybarat bolan ulgam ryçaga wagtyň geçmegi bilen üýtgeýän güýç bilen täsir eder. Ýöne biz hasaplamalarda yrgyldylaryň bardygyny hasaba alman, bu güýji hemişelik we okaranyň hem-de onuň içindäki ýüküň degişli umumy agrama deň diýip kabul ediň.

Eger ryçag hatda örän kiçi massa tapawudynda hem uly burça gyşarsa, onda ol terezi duýgur hasaplanýar. Meseläniň A bölegi şu duýgurlyk meselesini derňeýär.

Ryçagy (koromyslony) galyňlygy örän ujypsyz bolan ýasy plastinka görnüşindedir diýlip kabul edilýär. Goý, O nokady daýanç nokady, L we R nokatlary bolsa degişlilikde çep we sag okaralaryň asylan nokatlary bolsun. 2-nji suratda görkezilişi ýaly, ryçagyň massa merkezi O nokady bilen gabat gelýär. Aýlanma oky O nokadyndan geçýär we ryçaga perpendikulyardyr. Ryçagly terezi we onuň duýgurlygy bilen baglanyşykly bolup biljek fiziki parametrler hem-de üýtgeýän ululyklar aşakdakylardan ybaratdyr

• $b$: O nokadyň üstünden geçýän göni çyzyk bilen L we R nokatlaryny birleşdirýän göni çyzygyň arasyndaky wertikal uzaklyk
• $l$: O nokadyndan geçýän orta perpendikulyardan L we R nokatlaryna çenli bolan gorizontal uzaklyk.
• $g$: erkin gaçmanyň tizlenmesi
• $M$: koromyslonyň (ryçagyň) massasy
• $m_1$: tereziniň çep okarasynyň we onuň ýüküniň umumy massasy
• $m_2$: tereziniň sag okarasynyň we onuň ýüküniň umumy massasy

Haçan-da $m_1 > m_2$ bolanda, tereziniň ryçagy (koromyslosy) sagat diliniň ugrunyň garşysyna $\theta_0$burça gyşarýar we deňagramlylyk ýagdaýyna gelýär.

A1 Goý, tereziniň ryçagy gorizontala görä sagat diliniň ugruna garşy $\theta$ burça gyşaran bolsun. Çep okaranyň we onuň içindäki ýüküň O nokadyna görä döredýän güýç momentini tapyň. Momentiň položitel ugry — sagat diliniň ugruna garşydyr.

A

A2 Goý, tereziniň ryçagy gorizontala görä sagat diliniň ugruna garşy $\theta$ burça gyşaran bolsun. Sag okaranyň we onuň içindäki ýüküň O nokadyna görä döredýän güýç momentini tapyň. Momentiň položitel ugry — sagat diliniň ugruna garşydyr.

A

A3 Deňagramlylyk ýagdaýyndaky gyşarma $\theta_0$ burçuny berlen üýtgeýän ululyklar we parametrler arkaly aňladyň.

A S

A4

Terezini has duýgur etmek üçin (kiçijik massa tapawudynda has uly $\theta_0$ burçuny almak üçin), b we l üçin aşakdaky şertleriň haýsysy dogry bolup durýar? (Nädogry warianty saýlamak 0,1 ballyň aýrylmagyna getirer).

1. l-iň has uly bahasy ýa-da b-niň has uly bahasy$\mid\theta_0\mid$-uň has uly bolmagyna getirýär.
2. l-iň has kiçi bahasy ýa-da b-niň has kiçi bahasy$\mid\theta_0\mid$-uň has uly bolmagyna getirýär.
3. l-iň has uly bahasy ýa-da b-niň has kiçi bahasy$\mid\theta_0\mid$-uň has uly bolmagyna getirýär.
4. l-iň has kiçi bahasy ýa-da b-niň has uly bahasy$\mid\theta_0\mid$-uň has uly bolmagyna getirýär.

A

Terezini has duýgur etmek üçin ryçagyň gurluşyny üýtgetmek bolar. Goý, onuň aýlanma oky ($O$) sarygyň massa merkezinden (CM) $d$ aralykda, aşakda ýerleşsin. Ryçagy galyňlygy örän ujypsyz (hasaba alyp bolmajak derejede galyň däl) bolan steržen diýip kabul ediň. Tereziniň $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ ululyklarynyň bahalary öňki meseledäki ýalydyr.

A5 Koromyslo deňagramlyga gelýänçä gorizontala görä $\theta_1 (< \pi/2)$burçuna öwrülende, gyşarma $\theta_1$ burçuny berlen üýtgeýän ululyklar we parametrler arkaly aňladyň.

A S

A6 Ryçagyň gutarnykly durnukly deňagramlylyk $\theta_1 (< \pi/2)$ burçuna ýetmegi üçin zerur bolan şerti anyklaň. Bu şerti $\theta_1$ burçuna bagly bolmadyk deňsizlik görnüşinde aňladyň.

A S

B bölüm. Roberwal terezisiniň ýönekeý modeli

Roberwal terezisinde parallelogram mehanizmi ulanylýar, bu ýerde okaralar şarnirler arkaly iki sany gorizontal ryçaga (ýokarky we aşaky) birikdirilendir. Şeýle birikdirme, hatda ryçaglar gyşaranda-da, her bir okaranyň dik (wertikal) ýagdaýda galmagyna mümkinçilik berýär (4-nji surat). ryçaglar aýlananda, okaralar sinhron görnüşde hereket edýärler. Bu gurluşyň üýtgeşik aýratynlygy, tereziniň deňagramlylyk ýagdaýynyň diňe her tarapdaky umumy massa bagly bolup, ýükleriň okaralaryň üstündäki anyk ýerleşýän ýerine bagly bolmazlygydyr. Peýdaly bolup biljek fiziki ululyklar we belgiler aşakda görkezilendir (5-nji surat):

• $O, O'$ : Iki sany gorizontal koromyslo üçin gozganmaýan aýlanma oklary (şarnirler)
• $ I_1$: Ýokarky koromyslonyň öz aýlanma okuna görä inersiýa momenti
• $I_2$: Aşaky koromyslonyň öz aýlanma okuna görä inersiýa momenti
• $l$: Merkezdäki şarnirden (okdan) tereziniň okarasynyň asylýan nokadyna çenli bolan aralyk
• $x_L, x_R$: Ýükleriň degişlilikde tereziniň çep we sag okaralarynyň merkezinden gorizontal gyşarmalary (süýşmeleri)
• $m$: Her bir tereziniň okarasynyň massasy
  
   
• $m_L, m_R$: degişlilikde tereziniň çep we sag okaralaryna goýlan ýüküň massasy ($m_L \ge m_R$)
• $g$: erkin gaçmanyň tizlenmesi.

Her bir koromyslonyň (ryçagyň) massa merkeziniň (CM) özüne degişli aýlanma oky (şarniri) bilen gabat gelsin we okaralaryň şarnirleri bilen ryçagyň şarniri bir göni çyzykda ýatsyn.

B1 Koromyslo gorizontala görä sagat diliniň ugrunyň garşysyna $\theta$ burçuna gyşarandaky ($m_L \ge m_R$) ulugamyň umumy potensial energiýasyny $U(\theta)$ hasaplaň. Başlangyç gorizontal ýagdaýda potensial energiýany $U$ nol diýip kabul ediň.

A

B2 Ulgamyň umumy kinetik energiýasyny berlen üýtgeýän ululyklar, parametrler we burç tizligi $\dot{\theta}$ arkaly aňladyň.

A

B3 Aýlanma burçyny $\theta$ kesgitleýän ikinji tertipli differensial deňlemäni alyň.

A S

Koromyslo gorizontal ýagdaýdan goýberilen pursatyndaky burç tizlenmesi $\ddot{\theta}$ aşakdaky ýalydyr:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4 Başlangyç tizligiň nola deň bolan pursadynda, goý, $T_{L1}, T_{L2}$ degişlilikde çep okara bilen ýokarky we aşaky koromyslalaryň (ryçaglaryň) arasynda täsir edýän güýçleriň wertikal düzüjileriniň ululyklary bolsun. Edil şonuň ýaly-da, goý, $T_{R1}, T_{R2}$ sag okara üçin güýçleriň wertikal düzüjileriniň ululyklary bolsun. Berlen üýtgeýän ululyklar we parametrler arkaly $(T_{L2} + T_{R1})$ jemiň bahasyny hasaplaň.

A S

B5 Tereziniň ähli bölekleriniň, şol sanda ryçaglarynyň we okaralarynyň absolýut gaty jisimlerdigini göz öňünde tutup, aşakdaky güýçleriň hersiniň erkin goýberilen pursadynda hasaplanyp bilinjekdigini ýa-da bilinmejekdigini kesgitläň. (Her biri üçin "Hawa", "Ýok" ýa-da boş galdyrmak görnüşinde jogap beriň. Saýlanan her bir ýalňyş jogap üçin 0,1 ball jerime utugy ulanylar.)

1. $T_{R1}$
2. Merkezi okyň (şarniriň) ýokarky ryçaga täsir edýän güýjüniň wertikal düzüjisi

Bu meseläni çözmek üçin zerur bolan ähli gatnaşyk deňlemelerini düzüň. Siziň diňe deňlemeleriň görnüşlerini görkezmelidigiňize üns beriň; gutarnykly anyk hasaplamalary ýerine ýetirmek talap edilmeýär.

A

B6 Goý,$M_T$ ýüksiz tereziniň öz massasy bolsun. Çep we sag okaralara degişlilikde massalary $m_L$we $m_R$ ($m_L > m_R$) bolan ýükler goýulýar. Ryçag ilki bilen el bilen gorizontal ýagdaýda saklanýar we soňra erkin goýberilýär. Erkin goýberilen pursadynyň yz ýany, poluň terezi ýetirýän $N$ normal reaksiýa güýjüni tapyň.

A S

C bölüm. Roberwal terezisiniň kämilleşdirilen modeli

B bölümde seredilen Roberwal terezisiniň ýönekeý modelinde, massalaryň deňagramsyzlygy üznüksiz burç tizlenmesine sebäp bolýar, bu bolsa statiki deňagramlylyk burçuny kesgitlemegi mümkin däl edýär. Muňa garamazdan, amaly Roberwal terezisi massalaryň tapawudyna baglylykda belli bir gyşarma burçunda durnukly deňagramlylyga ýetýär. C bölümde biz şeýle amaly Roberwal terezileriniň fiziki gurluşyny seljerýäris. Deňagramlylyk burçuny massalaryň tapawudynyň funksiýasy hökmünde hasaplamak üçin aşakdaky üýtgeýän ululyklary we parametrleri göz öňünde tutuň:

• Ýokarky ryçag: Oky (ryçagyň gozgansyz oky) ryçagyň massa merkezinden göni ýokarda, wertikal ugur boýunça d aralykda ýerleşýär. Ryçagyň massasy $M$-e we öz okuna (gozganmaýan okuna) görä inersiýa momenti $I_1$-e deňdir.
• Aşaky ryçag: Oky (ryçagyň gozganmaýan oky) ryçagyň massa merkezi bilen gabat gelýär. Ryçagyň öz okuna (gozganmaýan okuna) görä inersiýa momenti $I_2$ -ä deňdir.
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$)
  :Degişlilikde çep we sag taraplar üçin okaranyň we onuň üstüne goýlan islendik jisimleriň umumy massasy. (Görkezilýän belligiň B bölümdäkiden tapawutlydygyna üns bermegiňizi haýyş edýäris.
• $l$: Merkezi okdan (şarnirden) geçýän orta perpendikulýardan okaranyň asylýan nokadyna çenli bolan gorizontal aralyk
• $g$: erkin gaçmanyň tizlenmesi

Ýükleriň okaralara görä hereketsiz galýandygy we olar bilen birlikde (sinhron) hereket edýändigi, şeýle hem okaralaryň oklary bilen ryçagyň okunyň bir göni çyzykda ýatýandygy göz öňünde tutulýar.

C1 Tereziniň okaralaryna massalary dürli bolan iki sany jisim ($m_1 > m_2$ ) ýerleşdirilendir. Tereziniň ryçagy (koromyslosy) ilki başda gorizontal ýagdaýda saklanýar we soňra statik dynçlyk ýagdaýyndan erkin goýberilýär. Bu şertlerde, gyşarma burçy $\theta$ bolan kinematiki ulgamyň hereketini häsiýetlendirýän ikinji tertipli differensial deňleme aşakdaky görnüşe eýe bolýar:

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$

Ulgamyň berlen üýtgeýän ululyklaryny we parametrlerini ulanyp, $A,B$ we $C$ koeffisientlerini anyklaň. $\theta = 0$ gorizontal ýagdaýy başlangyç şert hökmünde kabul ediň.

S

C2 Terezi özüniň deňagramlylyk ýagdaýynda ($\theta = \theta_0$) bolanda, uly bolmadyk daşky täsir (gyşarma) tereziniň koromyslosynyň we okaralarynyň deňagramlylyk burçunyň töwereginde yrgyldamagyna sebäp bolýar. Bu kiçi yrgyldylary derňemek üçin biz $\eta = \theta - \theta_0$ görnüşindäki täze üýtgeýän ululygy girizýäris. C.1 bölüminde alnan hereket deňlemesini golaýlaşdyrmak (approksimasiýa etmek) arkaly, berlen üýtgeýjiler we parametrler esasynda $\eta$ üçin esasy deňlemäni getirip çykaryň. Jogapda $\theta_0$ bolmaly däldir.

A S

C3 Eger umumy massa $m_1 + m_2$ hemişelik bolsa, kiçi yrgyldylaryň periodyny maksimuma ýetirmek üçin massanyň okaralaryň arasynda nähili paýlanmalydygyny kesgitläň. $m_1 = m_2 = 0$ bolan çäk ýagdaýy üçin kiçi yrgyldylaryň periodyny hasaplaň.

A S