A1  ^1.00 При какой температуре тепловых резервуаров тепловая машина прекратит работу?

Пусть $T_1$ и $T_2$ — температуры горячего и холодного тел в некоторый момент времени.
В силу идеальности тепловой машины изменение энтропии системы в любой момент будет равно нулю:
$$
\Delta S = C \ln{\frac{T_1}{T_h}} + C \ln{\frac{T_2}{T_c}} = 0 \quad \Rightarrow\quad T_1 T_2 = T_h T_c
$$
Машина прекратит работу, когда температуры резервуаров сравняются $(T _{end} = T_1 = T_2)$.

A2  ^1.00 Какую работу совершит тепловая машина за время своей работы?

Так как система изолирована, работу легко найти из закона сохранения энергии:
$$
A = W_{0} - W = C (T_h + T_c) - C(T_1 + T_2) \\
A_{end} = C \left( T_h + T_c - 2 \sqrt{T_h T_c} \right)
$$

A3  ^1.00 Через какое время развиваемая тепловой машиной мощность уменьшится вдвое?

Найдём коэффициент $k$, выразив работу как функцию от времени:
$$
A(\tau) = \int \limits_0^\tau P(t) dt = \frac{P_0}{k} \left( 1 - e^{-k\tau} \right) \\
A_{end} = \frac{P_0}{k} \\
\frac{P_0}{2} = P_0 \: e^{-k \tau_{1/2}} \quad \Rightarrow \quad \tau_{1/2} = \frac{\ln{2}}{k}
$$

A4  ^1.00 Через какое время КПД тепловой машины уменьшится вдвое?

Выразим из формулы для работы $A(t)$ время $\; t \: (T_1, T_2) \;$ как функцию $T_1$ и $T_2$:
$$
t(T_1, T_2) = -\frac{1}{k} \ln{ \left(1 - \frac{A}{A_{end}} \right) } \; = \; -\frac{A_{end}}{P_0} \ln{ \left(\frac{A_{end} - A}{A_{end}} \right) } = \\
= -\frac{A_{end}}{P_0} \ln{ \left(\frac{C}{A_{end}} (T_1 + T_2 - 2 \sqrt{T_h T_c}) \right) }
$$
Температуры $T_1$ и $T_2$ найдём из системы и двух уравнений:
$$
\begin{cases}
T_1 \: T_2 = T_h \: T_c \\
\eta_{1/2} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{T_c}{T_h} \right) = \left( 1 - \frac{T_2}{T_1} \right),
\end{cases}
$$
где первое уравнение выведено в $A_1$, а второе $-$ следует из условия данного пункта. Из второго ответа
$$
\xi^2 \equiv \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{T_c}{T_h} \right)
$$
Из чего получаем выражение для температур:
$$
T_1 = \frac{T_{end}}{\xi} = \sqrt{\frac{2 T_h T_c}{1 + \frac{T_c}{T_h}}} \approx 502K \\
T_2 = T_{end} \: \xi = \sqrt{\frac{T_h T_c \left(1 + \frac{T_c}{T_h} \right)}{2}} \approx 371K
$$
Остаётся подставить значения $T_1$ и $T_2$ в выражение для $t(T_1, T_2)$.

A5  ^1.00 Через какое время разность температур между тепловыми резервуарами уменьшится вдвое?

Аналогично $A_4$ получаем систему уравнений:
$$
\begin{cases}
T_1 \: T_2 = T_h \: T_c \\
T_1 - T_2 = \frac{1}{2} ( T_h - T_c )
\end{cases}
$$
В данном случае получается квадратное уравнение на $T_1$:
$$
T_1^2 -\frac{(T_h - T_c)}{2} T_1 - T_h T_c = 0 \\
D = \frac{(T_h - T_c)^2}{4} + 4 T_h T_c \\
T_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{(T_h - T_c)}{2} + \sqrt{D} \right) \\
T_1 + T_2 = 2 T_1 - \frac{(T_h - T_c)}{2} = \sqrt{D}
$$
Подставив $(T_1 + T_2)$ в $\;t(T_1, T_2)$, полученное в предыдущем пункте, получаем ответ.