Часть A. Движение в неоднородном поле постоянного направления (3.9 балла)

Частица зарядом $q$ и массой $m$ движется только под действием электрического поля $E(y)$, параллельного оси $y$ по траектории $y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2} }$ (величины $a$ и $b$ известны и $a,b>0$). В начальный момент времени скорость частицы равна $v_0$ и направлена перпендикулярно электрическому полю.

A1  ^2.40 Найдите зависимость проекции электрического поля $E_y(y)$ от координаты $y$, где $y\in(0,b]$. Ответ выразите через $v_0, a, b, q, m$.

A2  ^1.20 Из той же начальной точки в том же электрическом поле такую же частицу отпускают без начальной скорости. Определите скорость $v_1$, когда частица пройдёт расстояние $s=b/41$. Ответ выразите через $v_0,a,b$.

A3  ^0.30 Найдите время движения $\tau$ для предыдущего пункта. Ответ выразите через величины, заданные в A1.

Часть B. Распределение зарядов (2.1 балла)

B1  ^0.10 Для удобства дальше будем использовать такое обозначение. Пусть $E_y(b)=E_0$. Запишите, как $E_y(y)$ из A1 выражается через $E_0, b, y$.

Пусть теперь электрическое поле устроено так:
$E=0$ для $y>2b$; $y<\frac{b}{100}$
Для $y\in(b/100,2b)$ выполняется функциональная зависимость, найденная в пункте A1.
Напомним, что электрическое поле везде направлено параллельно оси $Oy$.
Данное электрическое поле создаётся следующей системой зарядов:
Заряженная плоскость $y=y_1=b/100$ с поверхностной плотностью заряда $\sigma_1$;
Заряженная плоскость $y=y_2=2b$ с поверхностной плотностью заряда $\sigma_2$;
Объёмным зарядом с плотностью $\rho(y)$, распределённым между указанными выше плоскостями.

B2  ^2.00 Найдите $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\rho(y)$. Ответ выразите через $E_0$, $b$, $y$ и фундаментальные постоянные.

Часть C. Эквипотенциальные поверхности заряженного отрезка (4 балла)

Стержень длины $2L$ заряжен равномерно по длине с линейной плотностью заряда $\rho$. Введём систему координат $YOX$ с началом в центре стержня, ось $OX$ направлена вдоль стержня, а ось $OY$~— перпендикулярно ему.

C1  ^0.60 Найдите точки, лежащие на прямых $x=0$ и $y=0$ такие, что потенциал в этих точках равен $\varphi_0$.

С2  ^2.00 Докажите, что кривая $y(x)$ такая, что потенциал в любой её точке равен $\varphi_0$, является эллипсом. Найдите уравнение данного эллипса в координатах $y(x)$, а также его большую и малую полуоси $a$ и $b$ соответственно.

По гладкой спице, имеющей форму эллипса, найденного в пункте C2, из точки $x=0$ со скоростью $v_0$ запускают заряженную частицу массы $m$ и заряда $q$. Потенциал спицы равен $\varphi_0$.

C3  ^0.40 Найдите радиус кривизны$R$ данного эллипса в точке с координатой $x$. Ответ выразите через $x$, $a$ и $b$.
Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле
$$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}.
$$

C4  ^0.50 Найдите силу взаимодействия частицы со спицей в её точках пересечения с прямой $x=0$. Ответ выразите через $m,q,{v_0},L,\rho,\varphi$ и физические постоянные.

C5  ^0.50 Найдите силу взаимодействия частицы со спицей в её точках пересечения с прямой $y=0$. Ответ выразите через $m,q,{v_0},L,\rho,\varphi$ и физические постоянные.