Pho.rs: Движение частицы в электрических полях

A1 ^2.40 Найдите зависимость проекции электрического поля $E_y(y)$ от координаты $y$, где $y\in(0,b]$. Ответ выразите через $v_0, a, b, q, m$.

1 Указано, что движение по $Ox$ равномерно, $x = v_0 t$.	0.30
2 Найдена зависимость $y(t) = b \sqrt{1- \frac{v_0^2 t^2}{a^2}}$.	0.30
3 Найдена скорость по оси $Oy$ или $y'(x)$.	0.50
4 Найдено ускорение по $Oy$ или $y''(x)$.	0.50
5 Указано, что $E_y = ma_y/q$.	0.20
6 Ответ для модуля поля $$ E_y = -\frac{m{v_0}^2b^4}{qa^2y^3}. $$	0.30
7 У поля верный знак.	0.30

A2 ^1.20 Из той же начальной точки в том же электрическом поле такую же частицу отпускают без начальной скорости. Определите скорость $v_1$, когда частица пройдёт расстояние $s=b/41$. Ответ выразите через $v_0,a,b$.

1 M1 Идея использовать для вычисления скорости движение по эллипсу из предыдущего пункта.	0.40
2 M1 Найдена нужная точка на эллипсе (координата $x$).	0.40
3 M1 Найдена скорость $v=\frac{9}{40}\frac{v_0b}{a}$.	0.40
4 M2 Найден потенциал в зависимости от координаты.	0.40
5 M2 Закон сохранения энергии.	0.40
6 M2 Получен ответ для скорости: $v=\frac{9}{40}\frac{v_0b}{a}$.	0.40
7 M3 Приближение постоянного ускорения, значение ускорения $a = v_0^2 b/a^2$	0.60
8 M3 Выражение для скорости при равноускоренном движении $v = \sqrt{2\|a_y\|s} = \sqrt{\frac{2}{41}} \frac{v_0 b}{a}$.	0.60

A3 ^0.30 Найдите время движения $\tau$ для предыдущего пункта. Ответ выразите через величины, заданные в A1.

1 M1 Интеграл для времени.	0.20
2 M1 Ответ $t =\frac{9a}{41v_0} $.	0.10
3 M2 Найдена нужная точка на эллипсе.	0.20
4 M2 Ответ $t =t=\frac{9a}{41v_0} $.	0.10
5 M3 Оценка времени для равноускоренного движения $t = \sqrt{\frac{2}{41}}\frac{a}{v_0}$ .	0.30

B1 ^0.10 Для удобства дальше будем использовать такое обозначение. Пусть $E_y(b)=E_0$. Запишите, как $E_y(y)$ из A1 выражается через $E_0, b, y$.

1 Получен ответ $$E= E_0 \frac{b^3}{y^3}$$

0.10

B2 ^2.00 Найдите $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\rho(y)$. Ответ выразите через $E_0$, $b$, $y$ и фундаментальные постоянные.

1 Теорема Гаусса для нахождения плотности заряда.	0.50
2 Ответ для плотности заряда $$\rho=-3\frac{E_0{b}^3\epsilon_0}{y^4} $$.	0.30
3 Верный знак плотности заряда.	0.20
4 Связь электрического поля и поверхностной плотности заряда.	0.40
5 Ответ $\sigma_1=10^{6}E_0\epsilon_0 $	0.20
6 Верный знак у $\sigma_1$.	0.10
7 $$\sigma_2=-\frac{E_0\epsilon_0}{8} $$	0.20
8 Верный знак у $\sigma_2$.	0.10

C1 ^0.60 Найдите точки, лежащие на прямых $x=0$ и $y=0$ такие, что потенциал в этих точках равен $\varphi_0$.

1 Выражение для потенциала на оси $Ox$ $\varphi_0=k\rho\ln\left(\frac{x+L}{x-L}\right) $.	0.20
2 Значение $x=\pm L/ \tanh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right) $.	0.10
3 Выражение для потенциала на оси $Oy$ $\varphi_0=k{\rho}\ln\left(\frac{L+\sqrt{y^2+L^2}}{\sqrt{L^2+y^2}-L}\right) $.	0.20
4 Значение $y=\pm L/sh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right) $.	0.10

С2 ^2.00 Докажите, что кривая $y(x)$ такая, что потенциал в любой её точке равен $\varphi_0$, является эллипсом. Найдите уравнение данного эллипса в координатах $y(x)$, а также его большую и малую полуоси $a$ и $b$ соответственно.

1 Выражение для потенциала в произвольной точке пространства $$ \varphi = k \rho \ln \frac{x+L + \sqrt{(x+L)^2+y^2}}{x-L + \sqrt{(x-L)^2+y^2}}. $$	0.60
2 Доказательство.	1.20
3 Значениe $a = L/\tanh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right)$.	0.10
4 Значение $b = L/ \sinh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right)$.	0.10

C3 ^0.40 Найдите радиус кривизны$R$ данного эллипса в точке с координатой $x$. Ответ выразите через $x$, $a$ и $b$. Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}. $$

1 Найдена $y'$.	0.10
2 Найдена $y''$.	0.10
3 Ответ $R=\frac{1}{a^4 b}\left(a^4-(a^2-b^2)x^2\right)^{\frac{3}{2}} $.	0.20

C4 ^0.50 Найдите силу взаимодействия частицы со спицей в её точках пересечения с прямой $x=0$. Ответ выразите через $m,q,{v_0},L,\rho,\varphi$ и физические постоянные.

1 Второй закон Ньютона.	0.10
2 Выражение для электрического поля.	0.20
3 Ответ: $$ N=\frac{mv_0^2}{L} \frac{\sinh\frac{\varphi_0}{2k\rho}}{\cosh^2 \frac{\varphi_0}{2k\rho}} + \frac{2kq\rho}{L} \sinh \frac{\varphi_0}{2k\rho} \tanh \frac{\varphi_0}{2k\rho}. $$	0.20

C5 ^0.50 Найдите силу взаимодействия частицы со спицей в её точках пересечения с прямой $y=0$. Ответ выразите через $m,q,{v_0},L,\rho,\varphi$ и физические постоянные.

1 Второй закон Ньютона.	0.10
2 Выражение для электрического поля.	0.20
3 Ответ: $$N=\frac{mv_0^2}{L} \sinh \frac{4\pi \varepsilon_0\varphi}{2\rho}\cdot\cosh \frac{4\pi \varepsilon_0\varphi}{2\rho} + \frac{2q\rho}{4\pi\varepsilon_0 L}\sinh^2 \frac{4\pi \varepsilon_0\varphi}{2\rho}$$	0.20

Движение частицы в электрических полях

Разбалловка