Logo
Logo

Движение частицы в электрических полях

Разбалловка

A1  2,40 Найдите зависимость проекции электрического поля $E_y(y)$ от координаты $y$, где $y\in(0,b]$. Ответ выразите через $v_0, a, b, q, m$.

A1. 1 Указано, что движение по $Ox$ равномерно, $x = v_0 t$. 0,30
A1. 2 Найдена зависимость $y(t) = b \sqrt{1- \frac{v_0^2 t^2}{a^2}}$. 0,30
A1. 3 Найдена скорость по оси $Oy$ или $y'(x)$. 0,50
A1. 4 Найдено ускорение по $Oy$ или $y''(x)$. 0,50
A1. 5 Указано, что $E_y = ma_y/q$. 0,20
A1. 6 Ответ для модуля поля
$$
E_y = -\frac{m{v_0}^2b^4}{qa^2y^3}.
$$
0,30
A1. 7 У поля верный знак. 0,30
A2  1,20 Из той же начальной точки в том же электрическом поле такую же частицу отпускают без начальной скорости. Определите скорость $v_1$, когда частица пройдёт расстояние $s=b/41$. Ответ выразите через $v_0,a,b$.

A2. 1 M1 Идея использовать для вычисления скорости движение по эллипсу из предыдущего пункта. 0,40
A2. 2 M1 Найдена нужная точка на эллипсе (координата $x$). 0,40
A2. 3 M1 Найдена скорость $v=\frac{9}{40}\frac{v_0b}{a}$. 0,40
A2. 4 M2 Найден потенциал в зависимости от координаты. 0,40
A2. 5 M2 Закон сохранения энергии. 0,40
A2. 6 M2 Получен ответ для скорости: $v=\frac{9}{40}\frac{v_0b}{a}$. 0,40
A2. 7 M3 Приближение постоянного ускорения, значение ускорения
$a = v_0^2 b/a^2$
0,60
A2. 8 M3 Выражение для скорости при равноускоренном движении $v = \sqrt{2|a_y|s} = \sqrt{\frac{2}{41}} \frac{v_0 b}{a}$. 0,60
A3  0,30 Найдите время движения $\tau$ для предыдущего пункта. Ответ выразите через величины, заданные в A1.

A3. 1 M1 Интеграл для времени. 0,20
A3. 2 M1 Ответ $t =\frac{9a}{41v_0} $. 0,10
A3. 3 M2 Найдена нужная точка на эллипсе. 0,20
A3. 4 M2 Ответ $t =t=\frac{9a}{41v_0} $. 0,10
A3. 5 M3 Оценка времени для равноускоренного движения $t = \sqrt{\frac{2}{41}}\frac{a}{v_0}$ . 0,30
B1  0,10 Для удобства дальше будем использовать такое обозначение. Пусть $E_y(b)=E_0$. Запишите, как $E_y(y)$ из A1 выражается через $E_0, b, y$.

B1. 1 Получен ответ $$E= E_0 \frac{b^3}{y^3}$$ 0,10
B2  2,00 Найдите $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\rho(y)$. Ответ выразите через $E_0$, $b$, $y$ и фундаментальные постоянные.

B2. 1 Теорема Гаусса для нахождения плотности заряда. 0,50
B2. 2 Ответ для плотности заряда $$\rho=-3\frac{E_0{b}^3\epsilon_0}{y^4}
$$.
0,30
B2. 3 Верный знак плотности заряда. 0,20
B2. 4 Связь электрического поля и поверхностной плотности заряда. 0,40
B2. 5 Ответ

$\sigma_1=10^{6}E_0\epsilon_0
$
0,20
B2. 6 Верный знак у $\sigma_1$. 0,10
B2. 7 $$\sigma_2=-\frac{E_0\epsilon_0}{8}
$$
0,20
B2. 8 Верный знак у $\sigma_2$. 0,10
C1  0,60 Найдите точки, лежащие на прямых $x=0$ и $y=0$ такие, что потенциал в этих точках равен $\varphi_0$.

C1. 1 Выражение для потенциала на оси $Ox$ $\varphi_0=k\rho\ln\left(\frac{x+L}{x-L}\right)
$.
0,20
C1. 2 Значение $x=\pm L/ \tanh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right)
$.
0,10
C1. 3 Выражение для потенциала на оси $Oy$ $\varphi_0=k{\rho}\ln\left(\frac{L+\sqrt{y^2+L^2}}{\sqrt{L^2+y^2}-L}\right)
$.
0,20
C1. 4 Значение $y=\pm L/sh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right)
$.
0,10
С2  2,00 Докажите, что кривая $y(x)$ такая, что потенциал в любой её точке равен $\varphi_0$, является эллипсом. Найдите уравнение данного эллипса в координатах $y(x)$, а также его большую и малую полуоси $a$ и $b$ соответственно.

С2. 1 Выражение для потенциала в произвольной точке пространства
$$
\varphi = k \rho \ln \frac{x+L + \sqrt{(x+L)^2+y^2}}{x-L + \sqrt{(x-L)^2+y^2}}.
$$
0,60
С2. 2 Доказательство. 1,20
С2. 3 Значениe $a = L/\tanh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right)$. 0,10
С2. 4 Значение $b = L/ \sinh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right)$. 0,10
C3  0,40 Найдите радиус кривизны$R$ данного эллипса в точке с координатой $x$. Ответ выразите через $x$, $a$ и $b$.
Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле
$$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}.
$$

C3. 1 Найдена $y'$. 0,10
C3. 2 Найдена $y''$. 0,10
C3. 3 Ответ $R=\frac{1}{a^4 b}\left(a^4-(a^2-b^2)x^2\right)^{\frac{3}{2}}
$.
0,20
C4  0,50 Найдите силу взаимодействия частицы со спицей в её точках пересечения с прямой $x=0$. Ответ выразите через $m,q,{v_0},L,\rho,\varphi$ и физические постоянные.

C4. 1 Второй закон Ньютона. 0,10
C4. 2 Выражение для электрического поля. 0,20
C4. 3 Ответ:
$$
N=\frac{mv_0^2}{L} \frac{\sinh\frac{\varphi_0}{2k\rho}}{\cosh^2 \frac{\varphi_0}{2k\rho}} + \frac{2kq\rho}{L} \sinh \frac{\varphi_0}{2k\rho}
\tanh \frac{\varphi_0}{2k\rho}.
$$
0,20
C5  0,50 Найдите силу взаимодействия частицы со спицей в её точках пересечения с прямой $y=0$. Ответ выразите через $m,q,{v_0},L,\rho,\varphi$ и физические постоянные.

C5. 1 Второй закон Ньютона. 0,10
C5. 2 Выражение для электрического поля. 0,20
C5. 3 Ответ:
$$N=\frac{mv_0^2}{L} \sinh \frac{4\pi \varepsilon_0\varphi}{2\rho}\cdot\cosh \frac{4\pi \varepsilon_0\varphi}{2\rho} + \frac{2q\rho}{4\pi\varepsilon_0 L}\sinh^2 \frac{4\pi \varepsilon_0\varphi}{2\rho}$$
0,20