A1  ^1.00 Пусть $v(x)$ — скорость течения жидкости в щели. Начало координат оси $Ox$ находится посередине между плоскостями, а плоскости, ограничивающие течение, находятся при $x = \pm d/2$. Разность давлений на противоположных краях щели равна $\Delta P$. Рассматривая силы, действующие на бесконечно малый слой жидкости толщины $dx$, получите дифференциальное уравнение на $v(x)$. Найдите из него $v(x)$. На стенках щели скорость обращается в 0.
Найдите среднюю скорость течения жидкости $\langle v \rangle$ (выразите ее через $\Delta P$, $L$, $\eta$, d). Найдите поток (поток — объем жидкости, протекающий через щель в единицу времени) жидкости через щель. Выразите ответ через $\Delta P$, $L$, $\eta$, $d$, $w$.

A1. 1 Выражение для силы давления, действующей на выбранный участок жидкости.	0.10
A1. 2 Выражение для силы вязкости, действующей на выбранный участок жидкости.	0.10
A1. 3 Уравнение на $v(x)$: $$\eta \frac{d^2 v}{dx^2}= -\frac{\Delta P}{L}. $$	0.10
A1. 4 Решение $v(x) = \frac{\Delta P}{2 \eta L} \left( \frac{d^2}{4} -x^2\right)$.	0.20
A1. 5 Граничное условие $v(\pm d/2) = 0$.	0.10
A1. 6 Средняя скорость $ \langle v \rangle = \frac{\Delta P d^2}{12 \eta L}. $	0.30
A1. 7 Поток $ q = \frac{d^3 w}{12 \eta L} \Delta P. $	0.10

A2  ^0.80 Теперь рассмотрим течение жидкости через длинную круглую трубку длины $L$ и радиуса $r$.
Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$.

Найдите объемный расход $q$ при течении жидкости через трубку. Ответ выразите через $\Delta P$, $L$, $r$, $\eta$.

A2. 2 Уравнение на скорость $\frac{dv}{d\rho} =- \rho \frac{\Delta P}{2 \eta L}$.	0.20
A2. 3 Решение уравнения $v(\rho) = \frac{\Delta P}{4 \eta L} (r^2 - \rho^2)$.	0.30
A2. 4 Поток $ q = \int_0^r 2\pi \rho d\rho\, v(\rho) = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L} $.	0.30

A3  ^0.20 Найдите гидродинамические сопротивления щели $R_s$ и трубки $R_t$. Ответ выразите через геометрические размеры, заданные в пунктах A1 и A2 соответственно и через вязкость жидкости $\eta$.

A3. 1 Значение $R_s =\frac{12 \eta L}{d^3w} $.	0.10
A3. 2 Значение $R_t = \frac{8 \eta L}{\pi r^4} $.	0.10

A4  ^0.70 Жидкость вязкости $\eta$ течет по трубке радиуса $r$ и длины $L$ под действием разности давлений $\Delta P$ (как в A2). Найдите мощность сил вязкого трения.

A4. 1 M1 Идея вычисления мощности через работу сил давления.	0.30
A4. 2 M1 $W = - q \Delta P$.	0.20
A4. 3 M1 Ответ $W =-\Delta P^2/R= - \frac{\pi r^4}{8 \eta L}\Delta P^2$ .	0.20
A4. 4 M2 Объемная плотность мощности сил вязкого трения $W = - dV\eta (dv(\rho)/d\rho)^2$.	0.30
A4. 5 M2 Интеграл для мощности $W = -L \int_0^r 2\pi \rho d\rho \eta (dv(\rho)/d\rho)^2$.	0.20
A4. 6 M2 Ответ $W =-\Delta P^2/R= - \frac{\pi r^4}{8 \eta L}\Delta P^2$ .	0.20

B1  ^0.40 Пусть заданы объемные расходы $q_1$ и $q_2$ жидкостей 1 и 2, а также их средние скорости $\langle v_1\rangle$ и $\langle v_2\rangle$. Найдите относительную ширину потока образца $w_1/w$.

B1. 1 Выражение для $ q_1 = \langle v_1 \rangle d w_1$	0.10
B1. 2 Выражение для $ q_2 = \langle v_2 \rangle d(w- w_1)$	0.10
B1. 3 Ответ $ \frac{w_1}{w}=1/(1+ q_2 \langle v_1 \rangle/q_1\langle v_2 \rangle)$.	0.20

B2  ^0.40 Пусть заданы вязкости жидкостей $\eta_1$ и $\eta_2$, а их средние скорости определяются результатами части $A$. Выразите $w_1/w$ через $q_1$, $q_2$, $\eta_1$ и $\eta_2$. Эффектами, которые происходят на границе между жидкостями 1 и 2, можно пренебречь, так как они важны только в области шириной порядка $d \ll w$.

B2. 1 Отношение средних скоростей $ \langle v_1 \rangle/\langle v_2 \rangle = \eta_2/\eta_1 $.	0.20
B2. 2 Ответ $ w_1/w=1/(1+ q_2 \eta_2/q_1\eta_1)$.	0.20

B3  ^0.30 Найдите отношение потоков $q_1/q_2$, если заданы плотности жидкостей ($\rho_1$ и $\rho_2$), их вязкости ($\eta_1$ и $\eta_2$) и высоты, на которые подняты резервуары $h_1$ и $h_2$.

B3. 1 Отношение сопротивлений реостатов $R_1/R_2 = \eta_1/\eta_2$.	0.10
B3. 2 Ответ $ q_1/q_2 =\rho_1 h_1 \eta_2/\rho_2 h_2 \eta_1 $.	0.20

B4  ^0.30 Найдите соответствующее отношение ширин потоков $w_1/w$.

B4. 1 Ответ $ w_1/w = 1/(1+ \rho_2 h_2/ \rho_1 h_1) $

0.30

C1  ^0.40 Опять рассмотрим течение одной жидкости между плоскостями. Однако теперь скорость создается не только за счет разности давлений, но и за счет силы тяжести. Геометрия такая же как и в части A1, сила тяжести направлена вдоль оси $y$. Поток жидкости сонаправлен с силой тяжести. Найдите среднюю скорость жидкости. Выразите ответ через $\rho$, $g$, $\eta$, $d$, $\Delta P$, $L$.

C1. 1 Дополнительная разность давлений $\Delta P = \rho g L$.	0.20
C1. 2 Ответ $ \langle v \rangle =\frac{ d^2}{12 \eta } \left(\frac{\Delta P}{L}+ \rho g\right) $.	0.20

C2  ^0.80 Пусть теперь между плоскостями течет два типа жидкостей, как в части $B$. Написав выражения для средних скоростей жидкостей 1 и 2, исключите из них разность давлений (она одинакова для обеих жидкостей) найдите отношение $\langle v_1 \rangle / \langle v_2 \rangle$. Выразите ответ через $\langle v_2 \rangle$, $\eta_1$, $\eta_2$, $d$, $g$, $\rho_1$, $\rho_2$.

C2. 1 Записаны выражения для скоростей жидкостей 1 и 2.	0.20
C2. 2 Исключена разность давлений.	0.30
C2. 3 Ответ $$ \frac{\langle v_1 \rangle}{\langle v_2 \rangle} = \frac{\eta_2}{\eta_1} \left( 1+\frac{g d^2}{12 \eta_2 \langle v_2 \rangle} (\rho_1-\rho_2)\right). $$	0.30

C3  ^1.00 Подставьте выражение для средних скоростей в формулу для относительной ширины сфокусированного потока из B1. Получите уравнение для определения ширины вида
$$\frac{w}{w_1} = \dots$$
В правую часть могут входить отношение $\frac{w_1}{w}$ и безразмерные параметры $\alpha = q_2 \eta_2/q_1 \eta_1$, $\beta = (\rho_1 - \rho_2)q_G/ \rho_2 q_2$. Здесь $q_G= \rho_2 g d^3 w/12\eta_2$ — величина с размерностью потока жидкости, характеризующая влияние гравитации.

C3. 1 Отношение для скоростей подставлено в формулу для отношения потоков.	0.20
C3. 2 $\langle v_2 \rangle$ исключено с помощью $q_2$.	0.20
C3. 3 Плотности жидкостей исключены с помощью $\beta$.	0.30
C3. 4 Ответ $$ \frac{w}{w_1} = 1+ \alpha \left( 1+ \beta \left(1- \frac{w_1}{w} \right)\right). $$	0.30

C4  ^0.60 Решите это уравнение и найдите относительную ширину сфокусированного потока $w_1/w$. Ответ выразите через безразмерные величины $\alpha$, $\beta$.

C4. 1 Верно решено уравнение $$ \frac{w_1}{w} = \frac{1}{2 \alpha \beta} \left( 1 + \alpha + \alpha \beta -\sqrt{(1 + \alpha + \alpha \beta)^2-4 \alpha \beta}\right). $$	0.40
C4. 2 Выбран правильный корень.	0.20

D1  ^0.60 Найдите гидродинамическое сопротивление каждого из реостатов, если по ним течет вода. Пусть в качестве жидкости 1 используется раствор соли, плотность которого $\rho_1 = 1.15 \cdot 10^3~кг/м^3$, а вязкость совпадает с вязкостью воды. Найдите $q_G$ для такой щели.

D1. 1 Ответ $q_G = 1.48\cdot 10^{-8} м^3/c. $	0.30
D1. 2 Ответ $ R = 3.97 \cdot 10^{12}~ Па\cdot с/м^3$.	0.30

D2  ^0.30 Найдите относительную ширину потока жидкости 1 (раствора соли)
$w_1/w$ для случаев, когда жидкость 1 подается с высот $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$.

D2. 1 Значения$ w_1/w =0.190;\, 0.346; 0.563. $

3 × 0.10

D3  ^0.30 Как изменится значение ширины потока, если пренебречь влиянием силы тяжести? Вычислите относительную ширину потока для тех же параметров $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$, что и в предыдущем пункте, не учитывая силу тяжести.

D3. 1 $ \frac{w_1}{w} =0.365;\, 0.535; 0.697. $

3 × 0.10

D4  ^0.30 Пусть теперь по центру течет некоторая жидкость 1, плотность которой равна $\rho_1^\prime = 0.8 \cdot 10^3 кг/м^3$, а вязкость совпадает с вязкостью воды.
Найдите отношение $w_1/w$ для значений $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$.

D4. 1 $ \frac{w_1}{w} =0.666;\, 0.715; 0.775. $

3 × 0.10

D5  ^0.80 Постройте качественно на одном графике зависимости $w_1/w$ от $h_2/h_1$ для трех случаев: a) гравитации нет, b) по центру течет раствор соли, c) по центру течет жидкость с плотностью $\rho_1^\prime$. Все параметры как в предыдущих пунктах, высота $h_2$ фиксирована, меняется только $h_1$.

D5. 1 За каждый из трех графиков (если они разумно выглядят, в частности кривая должна монотонно убывать).	3 × 0.20
D5. 2 Линии на графике расположены в правильном порядке.	0.20

D6  ^0.80 Во всех расчетах мы предполагали, что потоки не зависели от времени.
Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$.
Оцените время, за которое уровень воды в резервуаре уменьшается на $\delta h_2 = 10~см$. Если эксперимент провести за время такого порядка, изменение уровня воды в резервуаре практически на нем не скажется. Начальный уровень равен $h_2 = 0.5~м$.

D6. 1 Вытекающий поток $q_2 = \rho_2 g h_2/R$.	0.20
D6. 2 Скорость уменьшения уровня жидкости $\pi r_r^2 dh/dt= -q_2$.	0.20
D6. 3 Оценка времени $ \Delta t \approx \frac{\pi r_r^2 \delta h_2 R}{\rho_2 g h_2}. $	0.20
D6. 4 Ответ $ \Delta t \approx 10^5 ~с. $	0.20