1  ^?? Какое минимальное количество $n$ таких циклов нужно сделать, чтобы разность температур $(t_2 - t_1)_n$, уменьшилась не менее, чем в $N = 25~раз$?

Рассмотрим процессы теплообмена в первом цикле:
$$
c_{1}t_{1}+ct_{2}=(c_{1}+c)t_{1}^{'}, \text{ откуда }t_{1}^{'}=\frac{c_{1}t_{1}+ct_{2}}{c_{1}+c},
\\
c_{2}t_{2}+ct_{1}^{'}=(c_{2}+c)t_{2}^{'}, \text{ откуда } t_{2}^{'}=\frac{c_{2}t_{2}+ct_{1}^{'}}{c_{2}+c}.
$$
Здесь $t_{1}^{'}$ $t_{2}^{'}$ – температуры воды в сосудах по окончании первого цикла.
$$
\Delta t^{'}=t_{2}^{'}-t_{1}^{'}=\frac{(c_{2}t_{2}+ct_{1}^{'}-(c_{2}+c)t_{1}^{'}}{c_{2}+c}=\frac{c_{2}(t_{2}-t_{1}^{'})}{c_{2}+c}=
\\
=\frac{c_{2}[(c_{1}+c)t_{2}-(c_{1}t_{1}+ct_{2})]}{(c_{1}+c)(c_{2}+c)}=\frac{c_{1}c_{2}(t_{2}-t_{1})}{(c_{1}+c)(c_{2}+c)}.
\\
\Delta t^{'}=A(t_{2}-t_{1}), \quad A=\frac{c_{1}c_{2}}{(c_{1}+c)(c_{2}+c)}<1.
$$
Таким образом, за каждый цикл разность температур в сосудах уменьшается в $1/A$ раз. При $c_{1}:c_{2}:c=4:5:1$
$$
a=\frac{2}{3}, \frac{1}{A}=\frac{3}{2}, \left(\frac{1}{A}\right)^{n}\geq N.
$$
Подбором (на калькуляторе) легко получить: $n_{\min}=8$.

2  ^?? Какая температура воды установится в сосудах после очень большого числа циклов?

После большого числа циклов температуры бруска и воды в сосудах будут одинаковыми. Установившуюся температуру можно найти из условия теплового баланса:
$$
c_{1}t_{1}+c_{2}t_{2}+ct_{2}=(c_{1}+c_{2}+c)t_{0}, \text{ откуда } t_{0}=\frac{2t_{1}+3t_{2}}{5}.
$$