Logo
Logo

Газовый четырехугольник

A1  0.80 Пусть труба адиабатически изолирована. Получите зависимость скорости газа от его температуры.

__
Получено выражение $P_0 dV_0-PdV=dm\left(\frac{v^2-v_0^2}{2}+\frac{C_V}{\mu}(T-T_0)\right)$ 0.40
Получено выражение $v^2+\frac{2C_p}{\mu}T=const$ 0.20
Получено выражение $v=\sqrt{v_0^2+\frac{2C_p}{\mu}(T_0-T)}$. 0.20
A2  0.70 Покажите, что при течении газа выполняется соотношение $$v\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dx}.$$

__
Получено выражение $-Sdp=adm$ 0.40
Получено выражение $a=v\frac{dv}{dx}$ 0.10
Доказано требуемое 0.20
A3  0.50 Теперь к любому участку трубы длиной $L$ подводится тепловая мощность $N=kL$. Получите выражение для скорости газа как функцию от $x$ и $T$.

__
Получено выражение $Ndt=P_0dV_0-PdV=dm(\frac{v^2-v_0^2}{2}+C_V(T-T_0))$ 0.30
Получено выражение $v^2=v_0^2+\frac{2C_P}{\mu}(T_0-T)+\frac{2N}{m}$. 0.10
Получено выражение $v=\sqrt{v_0^2+\frac{2C_P}{\mu}(T_0-T)+\frac{2kx}{\rho_0S_0v_0}}$ 0.10
A4  0.50 Теперь и температура газа линейно зависит от $x$ по закону $T=T_0+\alpha x$. Покажите, что газ движется по трубе равноускоренно и найдите это ускорение $a$.

__
Показано, что движение равноускоренное 0.40
Получено выражение $a=-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}$ 0.10
A5  0.50 Получите уравнение политропного процесса с постоянной молярной теплоёмкостью $C$ в координатах $(P, \rho)$.

__
Получено выражение $PV^n=const$ 0.30
Получено выражение $P\rho^{-n}=const$ 0.20
A6  1.20 Покажите, что в условиях пункта А4 газ движется так, будто бы находится в политропном процессе.

__
Подставлено уравнение Менделеева-Клайперона в выражение из A2 0.20
Подставлено $\frac{dT}{dx}$ в выражение из A2 0.10
Получено выражение $\frac{T}{P}\frac{dP}{dT}=\frac{\mu}{\alpha R}\left(\frac{\alpha C_P}{\mu}-\frac{k}{\rho_0S_0v_0}\right)$ 0.40
Получено выражение $TP^{\frac{1}{\frac{\mu k}{\alpha R\rho_0S_0v_0}-\frac{C_P}{R}}}=const$ 0.50
A7  0.80 Получите выражение для плотности газа как функцию $x$.

__
Получено выражение $T\rho^{1-n}=const$ 0.20
Получено выражение $\rho=\rho_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^\frac{1}{1-n}$ 0.20
Получено выражение $\rho=\rho_0\left(\frac{T_0}{T_0+\alpha x}\right)^{1-\frac{C_P}{R}+\frac{\mu k}{\alpha R\rho_0S_0v_0}}$ 0.40
B1  0.10 Найдите массовый расход газа $\dot{m}$.

__
Получено выражение $\dot{m}=\rho_0S_0v_0$ 0.10
B2  0.80 Найдите теплоты $\delta Q_{ab}, \delta Q_{bc}, \delta Q_{cd}, \delta Q_{da}$, полученные порцией газа массой $dm$ на данных участках четырехугольника. Ответы могут быть выражены через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, \beta, B, L_1, L_2, L_3, L_4$ и $dm$.

__
$C=\frac{\mu\alpha}{A\rho_0S_0v_0}$ 0.20
$C=\frac{\mu\beta}{B\rho_0S_0v_0}$ 0.20
$Q_1=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_1$ 0.10
$Q_2=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_2$ 0.10
$Q_3=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_3$ 0.10
$Q_4=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_4$ 0.10
B3  1.00 Получите $\beta$ и $B$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$.

__
$T_c-T_a=AL_1+BL_2=AL_3+BL_4$ 0.20
Идея $P=0$ 0.20
$\alpha(L_1-L_3)+\beta(L_2-L_4)=0$ 0.20
$B=A\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$ 0.20
$\beta=\alpha\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$ 0.20
B4  1.50 Докажите, что для стационарности такой системы необходимо, чтобы молярная теплоёмкость газа была постоянна в течении всего цикла.

__
Получено соотношение $\frac{\alpha}{A}=\frac{\beta}{B}$ 0.50
Использовано $C\sim\frac{dN}{dx}/\frac{dT}{dx}$ 0.50
Вывод 0.50
B5  0.70 Найдите ускорения $a_{ab}$ и $a_{bc}$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$.

__
$a_{ab}=-\frac{AC_P}{\mu}+\frac{\alpha}{\rho_0S_0v_0}$ 0.20
$a_{bc}=a_{ab}\frac{B}{A}$ (не оценивается, если не выполнены B3.4 и B3.5) 0.40
$a_{bc}=\left(-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}\right)\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$ 0.10
B6  0.50 Найдите скорости $v_b, v_c$ и $v_d$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$.

__
$v^2=v_0^2+2ax$ 0.20
$v_b^2=v_0^2+2a_{ab}L_1$ 0.10
$v_c^2=v_0^2+2(a_{ab}L_1+a_{bc}L_2)$ 0.10
$v_d^2=v_0^2+2a_{bc}L_4$ 0.10
B7  0.20 Найдите минимальное время $t$, через которое газ возвращается в начальное положение. Ответ выразите через скорости в точках пересечения труб и ускорения в трубах (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6).

__
$t=\frac{v_b+v_c-v_a-v_d}{a_{ab}}+\frac{v_c+v_d-v_a-v_b}{a_{bc}}$ (не оценивается, если не выполнены B5 и B6) 0.20
B8  0.20 Найдите массу газа в трубе. Ответ выразите через $\dot{m}$ и $t$ (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6).

__
$m=\dot{m}t$ (не оценивается, если не выполнены B5 и B6) 0.20