Pho.rs: Газовый четырехугольник

A1 ^0.80 Пусть труба адиабатически изолирована. Получите зависимость скорости газа от его температуры.

1 Получено выражение $P_0 dV_0-PdV=dm\left(\frac{v^2-v_0^2}{2}+\frac{C_V}{\mu}(T-T_0)\right)$	0.40
2 Получено выражение $v^2+\frac{2C_p}{\mu}T=const$	0.20
3 Получено выражение $v=\sqrt{v_0^2+\frac{2C_p}{\mu}(T_0-T)}$.	0.20

A2 ^0.70 Покажите, что при течении газа выполняется соотношение $$v\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dx}.$$

1 Получено выражение $-Sdp=adm$	0.40
2 Получено выражение $a=v\frac{dv}{dx}$	0.10
3 Доказано требуемое	0.20

A3 ^0.50 Теперь к любому участку трубы длиной $L$ подводится тепловая мощность $N=kL$. Получите выражение для скорости газа как функцию от $x$ и $T$.

1 Получено выражение $Ndt=P_0dV_0-PdV=dm(\frac{v^2-v_0^2}{2}+C_V(T-T_0))$	0.30
2 Получено выражение $v^2=v_0^2+\frac{2C_P}{\mu}(T_0-T)+\frac{2N}{m}$.	0.10
3 Получено выражение $v=\sqrt{v_0^2+\frac{2C_P}{\mu}(T_0-T)+\frac{2kx}{\rho_0S_0v_0}}$	0.10

A4 ^0.50 Теперь и температура газа линейно зависит от $x$ по закону $T=T_0+\alpha x$. Покажите, что газ движется по трубе равноускоренно и найдите это ускорение $a$.

1 Показано, что движение равноускоренное	0.40
2 Получено выражение $a=-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}$	0.10

A5 ^0.50 Получите уравнение политропного процесса с постоянной молярной теплоёмкостью $C$ в координатах $(P, \rho)$.

1 Получено выражение $PV^n=const$	0.30
2 Получено выражение $P\rho^{-n}=const$	0.20

A6 ^1.20 Покажите, что в условиях пункта А4 газ движется так, будто бы находится в политропном процессе.

1 Подставлено уравнение Менделеева-Клайперона в выражение из A2	0.20
2 Подставлено $\frac{dT}{dx}$ в выражение из A2	0.10
3 Получено выражение $\frac{T}{P}\frac{dP}{dT}=\frac{\mu}{\alpha R}\left(\frac{\alpha C_P}{\mu}-\frac{k}{\rho_0S_0v_0}\right)$	0.40
4 Получено выражение $TP^{\frac{1}{\frac{\mu k}{\alpha R\rho_0S_0v_0}-\frac{C_P}{R}}}=const$	0.50

A7 ^0.80 Получите выражение для плотности газа как функцию $x$.

1 Получено выражение $T\rho^{1-n}=const$	0.20
2 Получено выражение $\rho=\rho_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^\frac{1}{1-n}$	0.20
3 Получено выражение $\rho=\rho_0\left(\frac{T_0}{T_0+\alpha x}\right)^{1-\frac{C_P}{R}+\frac{\mu k}{\alpha R\rho_0S_0v_0}}$	0.40

B1 ^0.10 Найдите массовый расход газа $\dot{m}$.

1 Получено выражение $\dot{m}=\rho_0S_0v_0$

0.10

B2 ^0.80 Найдите теплоты $\delta Q_{ab}, \delta Q_{bc}, \delta Q_{cd}, \delta Q_{da}$, полученные порцией газа массой $dm$ на данных участках четырехугольника. Ответы могут быть выражены через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, \beta, B, L_1, L_2, L_3, L_4$ и $dm$.

1 $C=\frac{\mu\alpha}{A\rho_0S_0v_0}$	0.20
2 $C=\frac{\mu\beta}{B\rho_0S_0v_0}$	0.20
3 $Q_1=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_1$	0.10
4 $Q_2=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_2$	0.10
5 $Q_3=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_3$	0.10
6 $Q_4=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_4$	0.10

B3 ^1.00 Получите $\beta$ и $B$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$.

1 $T_c-T_a=AL_1+BL_2=AL_3+BL_4$	0.20
2 Идея $P=0$	0.20
3 $\alpha(L_1-L_3)+\beta(L_2-L_4)=0$	0.20
4 $B=A\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$	0.20
5 $\beta=\alpha\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$	0.20

B4 ^1.50 Докажите, что для стационарности такой системы необходимо, чтобы молярная теплоёмкость газа была постоянна в течении всего цикла.

1 Получено соотношение $\frac{\alpha}{A}=\frac{\beta}{B}$	0.50
2 Использовано $C\sim\frac{dN}{dx}/\frac{dT}{dx}$	0.50
3 Вывод	0.50

B5 ^0.70 Найдите ускорения $a_{ab}$ и $a_{bc}$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$.

1 $a_{ab}=-\frac{AC_P}{\mu}+\frac{\alpha}{\rho_0S_0v_0}$	0.20
2 $a_{bc}=a_{ab}\frac{B}{A}$ (не оценивается, если не выполнены B3.4 и B3.5)	0.40
3 $a_{bc}=\left(-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}\right)\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$	0.10

B6 ^0.50 Найдите скорости $v_b, v_c$ и $v_d$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$.

1 $v^2=v_0^2+2ax$	0.20
2 $v_b^2=v_0^2+2a_{ab}L_1$	0.10
3 $v_c^2=v_0^2+2(a_{ab}L_1+a_{bc}L_2)$	0.10
4 $v_d^2=v_0^2+2a_{bc}L_4$	0.10

B7 ^0.20 Найдите минимальное время $t$, через которое газ возвращается в начальное положение. Ответ выразите через скорости в точках пересечения труб и ускорения в трубах (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6).

1 $t=\frac{v_b+v_c-v_a-v_d}{a_{ab}}+\frac{v_c+v_d-v_a-v_b}{a_{bc}}$ (не оценивается, если не выполнены B5 и B6)

0.20

B8 ^0.20 Найдите массу газа в трубе. Ответ выразите через $\dot{m}$ и $t$ (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6).

1 $m=\dot{m}t$ (не оценивается, если не выполнены B5 и B6)

0.20

Газовый четырехугольник

Разбалловка