Закон изменения импульса для газа $$-Sdp=adm$$ Равенство $a=v\frac{dv}{dx}$ доказывает требуемое

ЗСЭ $$Ndt=P_0dV_0-PdV=dm(\frac{v^2-v_0^2}{2}+C_V(T-T_0))$$ Проведя преобразования,получим $$v^2=v_0^2+\frac{2C_P}{\mu}(T_0-T)+\frac{2N}{m}$$ Ответ $$ $$ $$v=\sqrt{v_0^2+\frac{2C_P}{\mu}(T_0-T)+\frac{2kx}{\rho_0S_0v_0}}$$

$a=v\frac{dv}{dx}=-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}=const$, что доказывает требуемое

$$C={C_V}+\frac{\nu RT}{V} \frac{dV}{dT}$$ $$ $$ После интегрирования имеем $TV^{n-1}=const$ $$ $$ $$P\rho^{-n}=const$$ $$ $$ где $n=\frac{C_P - C}{C_V - C}$

Из уравнения состояния и условия $\alpha=\frac{dT}{dx}=const$ имеем $$ $$ $$a=v\frac{dv}{dx}=−\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dx}=-\frac{RT}{\mu P}\frac{dP}{dT}\frac{dT}{dx}=-\frac{\alpha R}{\mu}\frac{T}{P}\frac{dP}{dT}$$ $$ $$ Но поскольку $a=-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}=const$ $$ $$ $\frac{T}{P}\frac{dP}{dT}=\frac{\mu}{\alpha R}\left(\frac{\alpha C_P}{\mu}-\frac{k}{\rho_0S_0v_0}\right)=const$ - уравнение политропы $$ $$ После интегрирования имеем $$ $$ $$TP^{\frac{1}{\frac{\mu k}{\alpha R\rho_0S_0v_0}-\frac{C_P}{R}}}=TP^\frac{R}{C -C_P}=const$$ $$ $$ Для дальнейшего решения отметим, что $$ $$ $$C=\frac{\mu k}{\alpha \rho_0S_0v_0}$$

Из уравнения политропы $$ $$ $$\rho=\rho_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^\frac{1}{1-n}$$ $$ $$ Находя $n$ из $A6$, получим $$ $$ $$\rho=\rho_0\left(\frac{T_0}{T_0+\alpha x}\right)^{1-\frac{C_P}{R}+\frac{\mu k}{\alpha R\rho_0S_0v_0}}$$

$$\dot{m}=\rho_0S_0v_0$$

Из первого начала термодинамики и пункта ${A6}$ $$\frac{\delta Q}{dm}={\frac{C}{\mu}}(T - T_0)$$ $$ $$ Подставляя в последнее уравнение выражение для теплоёмкости,полученное в $A6$ и разницы температур,имеем $$ $$ $$Q_1=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_1$,$Q_2=\frac{\beta dm}{\rho_0S_0v_0}L_2$,$Q_3=-\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_3$,$Q_4=-\frac{\beta dm}{\rho_0S_0v_0}L_4$$

Поскольку состояние стационарное,четырёхугольник получает нулевую тепловую мощность. Отсюда $$ $$ $$\alpha(L_1-L_3)+\beta(L_2-L_4)=0$$ Тогда ответ на первый вопрос: $\beta=\alpha\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$ $$ $$ Найдём разницу температур в точках $c$ и $a$ двумя способами $$ $$ $$T_c-T_a=AL_1+BL_2=AL_3+BL_4$$ Отсюда ответ на второй вопрос:$B=A\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$

В пункте $A6$ мы получили $$ $$ $$C=\frac{\mu }{ \rho_0S_0v_0}\frac{dN}{dx}\frac{dx}{dT}$$ $$ $$ Для $ab$ и $cd$ $$ $$ $${C_1}=\frac{\mu\alpha}{A\rho_0S_0v_0}$$ $$ $$ Для $bc$ и $da$ $$ $$ $${C_2}=\frac{\mu\beta}{B\rho_0S_0v_0}$$ $$ $$ Поскольку из пункта $B_3$ следует,что $\frac{\alpha}{A}=\frac{\beta}{B}$ $$ $$ $${C_1}={C_2}$$ $$ $$ Поскольку процессы во всех трубах политропные,молярная теплоёмкость газа одинакова во всём процессе

Подставляя $A$,$B$,$\alpha$,$\beta$ в выражение в пункте $A4$,имеем $$ $$ $$a_{ab}=-\frac{AC_P}{\mu}+\frac{\alpha}{\rho_0S_0v_0}$$ $$ $$ $$a_{bc}=\left(-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}\right)\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}=a_{ab}\frac{B}{A}$$

Подставляя ранее полученные результаты в формулу $v^2=v_0^2+2{a_x}x$,имеем $$ $$ $$v_b^2=v_0^2+2a_{ab}L_1$$ $$ $$ $$v_c^2=v_0^2+2(a_{ab}L_1+a_{bc}L_2)$$ $$ $$ $$v_d^2=v_0^2+2a_{bc}L_4$$

Выразим время через изменения скорости на отдельных участках трубы и ускорения в них $$t=\frac{v_b+v_c-v_a-v_d}{a_{ab}}+\frac{v_c+v_d-v_a-v_b}{a_{bc}}$$

Масса газа в трубе $m=\dot{m}t$