A1  ^0.80 Пусть труба адиабатически изолирована. Получите зависимость скорости газа от его температуры.

A2  ^0.70 Покажите, что при течении газа выполняется соотношение $$v\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dx}.$$

Закон изменения импульса для газа $$-Sdp=adm$$
Равенство $a=v\frac{dv}{dx}$ доказывает требуемое

A3  ^0.50 Теперь к любому участку трубы длиной $L$ подводится тепловая мощность $N=kL$. Получите выражение для скорости газа как функцию от $x$ и $T$.

ЗСЭ $$Ndt=P_0dV_0-PdV=dm(\frac{v^2-v_0^2}{2}+C_V(T-T_0))$$
Проведя преобразования,получим $$v^2=v_0^2+\frac{2C_P}{\mu}(T_0-T)+\frac{2N}{m}$$
Ответ
$$

$$
$$v=\sqrt{v_0^2+\frac{2C_P}{\mu}(T_0-T)+\frac{2kx}{\rho_0S_0v_0}}$$

A4  ^0.50 Теперь и температура газа линейно зависит от $x$ по закону $T=T_0+\alpha x$. Покажите, что газ движется по трубе равноускоренно и найдите это ускорение $a$.

$a=v\frac{dv}{dx}=-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}=const$, что доказывает требуемое

A5  ^0.50 Получите уравнение политропного процесса с постоянной молярной теплоёмкостью $C$ в координатах $(P, \rho)$.

$$C={C_V}+\frac{\nu RT}{V} \frac{dV}{dT}$$
$$

$$
После интегрирования имеем $TV^{n-1}=const$
$$

$$ $$P\rho^{-n}=const$$
$$

$$
где $n=\frac{C_P - C}{C_V - C}$

A6  ^1.20 Покажите, что в условиях пункта А4 газ движется так, будто бы находится в политропном процессе.

Из уравнения состояния и условия $\alpha=\frac{dT}{dx}=const$ имеем
$$

$$
$$a=v\frac{dv}{dx}=−\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dx}=-\frac{RT}{\mu P}\frac{dP}{dT}\frac{dT}{dx}=-\frac{\alpha R}{\mu}\frac{T}{P}\frac{dP}{dT}$$
$$

$$
Но поскольку $a=-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}=const$
$$

$$
$\frac{T}{P}\frac{dP}{dT}=\frac{\mu}{\alpha R}\left(\frac{\alpha C_P}{\mu}-\frac{k}{\rho_0S_0v_0}\right)=const$ - уравнение политропы
$$

$$
После интегрирования имеем
$$

$$
$$TP^{\frac{1}{\frac{\mu k}{\alpha R\rho_0S_0v_0}-\frac{C_P}{R}}}=TP^\frac{R}{C -C_P}=const$$
$$

$$
Для дальнейшего решения отметим, что
$$

$$
$$C=\frac{\mu k}{\alpha \rho_0S_0v_0}$$

A7  ^0.80 Получите выражение для плотности газа как функцию $x$.

Из уравнения политропы
$$

$$
$$\rho=\rho_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^\frac{1}{1-n}$$
$$

$$
Находя $n$ из $A6$, получим
$$

$$
$$\rho=\rho_0\left(\frac{T_0}{T_0+\alpha x}\right)^{1-\frac{C_P}{R}+\frac{\mu k}{\alpha R\rho_0S_0v_0}}$$

B1  ^0.10 Найдите массовый расход газа $\dot{m}$.

$$\dot{m}=\rho_0S_0v_0$$

B2  ^0.80 Найдите теплоты $\delta Q_{ab}, \delta Q_{bc}, \delta Q_{cd}, \delta Q_{da}$, полученные порцией газа массой $dm$ на данных участках четырехугольника. Ответы могут быть выражены через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, \beta, B, L_1, L_2, L_3, L_4$ и $dm$.

Из первого начала термодинамики и пункта ${A6}$
$$\frac{\delta Q}{dm}={\frac{C}{\mu}}(T - T_0)$$
$$

$$
Подставляя в последнее уравнение выражение для теплоёмкости,полученное в $A6$ и разницы температур,имеем
$$

$$
$$Q_1=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_1$,$Q_2=\frac{\beta dm}{\rho_0S_0v_0}L_2$,$Q_3=-\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_3$,$Q_4=-\frac{\beta dm}{\rho_0S_0v_0}L_4$$

B3  ^1.00 Получите $\beta$ и $B$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$.

Поскольку состояние стационарное,четырёхугольник получает нулевую тепловую мощность. Отсюда
$$

$$
$$\alpha(L_1-L_3)+\beta(L_2-L_4)=0$$
Тогда ответ на первый вопрос: $\beta=\alpha\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$
$$

$$
Найдём разницу температур в точках $c$ и $a$ двумя способами
$$

$$
$$T_c-T_a=AL_1+BL_2=AL_3+BL_4$$
Отсюда ответ на второй вопрос:$B=A\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$

B4  ^1.50 Докажите, что для стационарности такой системы необходимо, чтобы молярная теплоёмкость газа была постоянна в течении всего цикла.

В пункте $A6$ мы получили
$$

$$
$$C=\frac{\mu }{ \rho_0S_0v_0}\frac{dN}{dx}\frac{dx}{dT}$$
$$

$$
Для $ab$ и $cd$
$$

$$
$${C_1}=\frac{\mu\alpha}{A\rho_0S_0v_0}$$
$$

$$
Для $bc$ и $da$
$$

$$
$${C_2}=\frac{\mu\beta}{B\rho_0S_0v_0}$$
$$

$$
Поскольку из пункта $B_3$ следует,что $\frac{\alpha}{A}=\frac{\beta}{B}$
$$

$$
$${C_1}={C_2}$$
$$

$$
Поскольку процессы во всех трубах политропные,молярная теплоёмкость газа одинакова во всём процессе

B5  ^0.70 Найдите ускорения $a_{ab}$ и $a_{bc}$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$.

Подставляя $A$,$B$,$\alpha$,$\beta$ в выражение в пункте $A4$,имеем
$$

$$
$$a_{ab}=-\frac{AC_P}{\mu}+\frac{\alpha}{\rho_0S_0v_0}$$
$$

$$
$$a_{bc}=\left(-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}\right)\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}=a_{ab}\frac{B}{A}$$

B6  ^0.50 Найдите скорости $v_b, v_c$ и $v_d$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$.

Подставляя ранее полученные результаты в формулу $v^2=v_0^2+2{a_x}x$,имеем
$$

$$
$$v_b^2=v_0^2+2a_{ab}L_1$$
$$

$$
$$v_c^2=v_0^2+2(a_{ab}L_1+a_{bc}L_2)$$
$$

$$
$$v_d^2=v_0^2+2a_{bc}L_4$$

B7  ^0.20 Найдите минимальное время $t$, через которое газ возвращается в начальное положение. Ответ выразите через скорости в точках пересечения труб и ускорения в трубах (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6).

Выразим время через изменения скорости на отдельных участках трубы и ускорения в них
$$t=\frac{v_b+v_c-v_a-v_d}{a_{ab}}+\frac{v_c+v_d-v_a-v_b}{a_{bc}}$$

B8  ^0.20 Найдите массу газа в трубе. Ответ выразите через $\dot{m}$ и $t$ (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6).

Масса газа в трубе $m=\dot{m}t$