Скорость изменения кинетической энергии тела — это мощность приложенных к нему сил. На шарик действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. По условию сила сопротивления пропорциональна скорости:
$$
\vec{F_{c}}=-\alpha \vec{v}.
$$
Суммарная мощность сил, приложенных к шарику:
$$
N=(m\vec{g}+\vec{F_{c}}) \cdot \vec{v}=mgv-\alpha v^{2}, \quad (1)
$$
где $v$ — проекция скорости шарика $\vec{v}$ на ось, направленную вертикально вниз.
При падении шарик будет ускоряться, пока сила сопротивления не уравновесит силу тяжести. Зная скорость установившегося движения $v_{2}$, найдём коэффициент $\alpha$, записав для шарика второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вертикально вниз, и приравняв ускорение нулю:
$$
0=mg-\alpha v_{2}, \quad \text{ откуда } \quad \alpha=\frac{mg}{v_{2}}.
$$
В процессе движения скорость $v$ изменяется от $-v_{0}$ до $v_{2}$.
Выражение для мощности $(1)$ можно привести к виду:
$$
N=\frac{mgv_{2}}{4}-\frac{mg}{v_{2}} \left(v-\frac{v_{2}}{2}\right)^{2}.
$$
График этой зависимости — парабола с вершиной в точке $v_{1}=v_{2}/2$, показанная на рисунке ниже.
Как видно из графика, максимальная (по модулю) скорость изменения кинетической энергии достигается либо при $v=v_{1}$, либо при $v=-v_{0}$. В первом случае мощность $N_{1}=\frac{mgv_{2}}{4}$, во втором $n_{2}=\frac{mgv_{2}}{4}-\frac{mg}{v_{2}}\left(v_{0}+\frac{v_{2}}{2}\right)^{2}$. Сравнив $N_{1}$ и $N_{2}$, найдём, что при $v_{0} < v_{к} =\frac{(\sqrt{2}-1)}{2}v_{2}$ мощность $N_{1} > N_{2}$ и, следовательно, $v_{\max}=v_{1}$; при $v_{0} > v_{к}$, наоборот, $N_{2} > N_{1}$ и $v_{\max}=v_{0}$. При $v_{0}=v_{к}$ верны оба ответа.