Изначально покоящийся электрон ускоряется напряжением $U=km_0c^2/e$, где $m_0$ — масса электрона, $e$ — элементарный заряд, $c$ — скорость света, $k$ — безразмерная величина. Электрон сталкивается с покоящимся позитроном и аннигилирует, создавая два фотона. Направление, в котором испущен один из фотонов, определяет направление, в котором испущен второй. Найдите минимально возможный угол $\alpha_\min$ между направлениями испускания фотонов. Ответ выразите через $k$. Проведите численный расчет для $k=1$.

Найдём энергию электрона после разгона напряжением:
$$E_{\text{э}}=m_0c^2+eU=m_0c^2(1+k)
$$
Воспользуемся связью энергии-импульса
$$E^2_{\text{э}}=p^2_{\text{э}}c^2+m^2_0c^4
$$
откуда:
$$p_{\text{э}}=m_0c\sqrt{k(2+k)}
$$
Масса позитрона равна массе электрона, поэтому энергия системы равна:
$$E=E_{\text{э}}+E_{\text{п}}=m_0c^2(2+k)
$$
Поскольку масса фотона равна нулю, для него верно:
$$E=pc
$$
откуда получим уравнения, связывающие импульсы фотонов $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$:
$$E=(p_1+p_2)c\qquad \vec{p}_{\text{э}}=\vec{p}_1+\vec{p}_2
$$
Далее можно действовать двумя способами.

Алгебраический подход: Из выражения для импульса $\vec{p}$ получим:

$$p^2_\text{э}=p^2_1+p^2_2+2p_1p_2\cos\alpha=(p_1+p_2)^2-2p_1p_2(1-\cos\alpha)$$

Учитывая, что $p_1+p_2=E/c$, и что $2(1-\cos\alpha)=4\sin^2\alpha/2$, получим:

$$\sin^2\alpha/2=\cfrac{E^2-p^2_\text{э}c^2}{4p_1p_2c^2}=\cfrac{E^2-p^2_\text{э}c^2}{4p_1c(E-p_1c)}
$$

Максимальное значение знаменателя достигается, если $p_1=p_2=E/2c$. Тогда:

$$\sin^2\alpha_{min}/2=\cfrac{E^2-p^2_\text{э}c^2}{4(E/2)^2}=1-\left(\cfrac{p_\text{э}c}{E}\right)^2
$$

Геометрический подход: