Поскольку колёса имеют одинаковые размеры и не проскальзывают, они вращаются с одинаковыми угловыми скоростями $\omega=v/R$. Поэтому угол между радиус-векторами камней $\vec r_{1}$ и $\vec r_{2}$ относительно центров колёс в любой момент времени составляет $90^\circ$ (см. рисунок).
Радиус-вектор $\vec r_{21}$ второго камня относительно первого можно найти из векторного равенства
$$
\vec r_{21}=\vec r_{0}+\vec r_{2}-\vec r_{1},
$$
где $\vec r_{0}$ — радиус-вектор центра переднего колеса относительно центра заднего. Так как угол между векторами $\vec r_{1}$ и $\vec r_{2}$ всегда равен $90^\circ$, то вектор $\vec r_{2}-\vec r_{1}$ имеет длину $\sqrt{2}R$ и вращается с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости колёс. Таким образом, радиус-вектор второго камня относительно первого можно найти как сумму вектора $\vec r_{0}$ (который не меняется в процессе движения велосипеда) и вектора, имеющего длину $\sqrt{2}R$ и вращающегося с угловой скоростью $\omega$. Сложение этих векторов показано на рисунке ниже, причём концы векторов $\vec r_{2}-\vec r_{1}$ и $\vec r_{21}$ лежат на окружности радиуса $\sqrt{2}R$ с центром в конце вектора $\vec r_{0}$.
Из рисунка выше следует, что вектор $\vec r_{21}$ имеет минимальную длину в тот момент времени, когда вектор $\vec r_{2}-\vec r_{1}$ направлен противоположно вектору $\vec r_{0}$, максимальную — когда вектор $\vec r_{2}-\vec r_{1}$ направлен так же, как и вектор $\vec r_{0}$. Поэтому
$$
r_{21}^{\min}=3R-\sqrt{2}R=R(3-\sqrt{2});
\\
r_{21}^{\max}=3R+\sqrt{2}R=R(3+\sqrt{2}).
$$
Эти два случая показаны на рисунках $а$ и $б$ (см. рисунок ниже), соответственно.
Длина вектора $\vec r_{21}$ будет максимальна, когда вектор $\vec r_{2}$ повернётся на угол $\pi/4$ по сравнению с начальным положением. Отсюда находим момент времени $t$, когда расстояние между камнями достигает максимального значения:
$$
t=\frac{\pi}{4\omega}=\frac{\pi R}{4 v}.
$$