1  ^?? Определите температуру $t_4$ кофе на выходе из теплообменника.

В установившемся режиме температура вдоль трубы меняется линейно. Это можно показать, рассмотрев изменение температуры на небольшом смещении вдоль трубы. Из уравнения теплового баланса следует, что изменения температур жидкостей одинаковы (здесь учтено, что за одинаковое время обмениваются теплом одинаковые массы жидкостей). Другими словами, если в некоторой месте теплообменника температуры кофе и молока равны $t_{к}$ $t_{м}$ соответственно, то на небольшом расстоянии $\Delta x$ они станут равны $t_{к}+\Delta t$ и $t_{м}+\Delta t$, при этом сохранится разность температур и мощность теплообмена. Пошагово можно повторять эту процедуру до другого края теплообменника. Распределение температур вдоль труб приведено на графике (см. рисунок):
$$
\Delta t_{1}=t_{3}-t_{1}=50^\circ С.
$$

Так как изменения температур равны, то температура кофе на выходе
$$
t_{4}=t_{2}-\Delta t_{1}=40^{\circ}С.
$$

2  ^?? На каком расстоянии $s$ друг от друга находятся участки труб, в которых температуры кофе и молока одинаковы?

Расстояние $s$ между участками труб с одинаковыми температурами можно найти из подобия треугольников:
$$
\frac{s}{L}=\frac{t_{2}-\Delta t_{1}-t_{1}}{\Delta t_{1}}, \text { откуда } s=3 м.
$$

3  ^?? Какими станут температуры молока $t_3'$ и кофе $t_4'$, вытекающих из теплообменника, если увеличить скорость обоих потоков в два раза, сохранив их температуры на входе?

свяжем мощности переданного и полученного тепла:
$$
\mu c\Delta t_{1}=\alpha(t_{2}-\Delta t_{1}-t_{1}),
$$
где $\alpha$ — некоторая константа, связанная с теплопроводящими свойствами внутренней трубы и жидкостей. После изменения расхода жидкостей до $\mu^{'}=2\mu$ уравнение связи примет вид
$$
2\mu c\Delta t_{1}^{'}=\alpha(t_{2}-\Delta t_{1}^{'}-t_{1}).
$$
Здесь учтено, что мощность изменится из-за уменьшения разности температур. Решая систему уравнений относительно нового изменения температур $\Delta t_{1}^{'}$, получим $\Delta t_{1}^{'}=36.4^{\circ}С$. откуда температура на выходе у молока $t_{3}^{'}=46.4^{\circ}С$, у кофе $t_{4}^{'}=53.6^{\circ}С$.