1  ^?? Выведите зависимость путевого расхода топлива $\lambda$ от скорости $v$.

При движении со скоростью $v$ расстояние $L$ катер преодолевает за время $\tau=\frac{L}{v}$. При этом мощность сил сопротивления равна $N=Fv=kv^{2}$, где $k$ – размерный коэффициент. Так как по условию массовый расход топлива линейно зависит от мощности сил сопротивления $\mu=\mu_{0}+\alpha N$, где $\mu_{0}$ и $\alpha$ – размерные коэффициенты, то линейный расход топлива равен $\lambda =\frac{\mu \tau}{L}=\alpha v+\frac{\mu_{0}}{v}$.
Найдём константы $\alpha$ и $\mu_{0}$ по известным значениям $v_{1}$, $\lambda_{1}$, $v_{2}$ и $\lambda_{2}$. Для этого запишем уравнения для линейного расхода $\lambda_{1}=\alpha v_{1}+\frac{\mu_{0}}{v_{1}}$ и $\lambda_{2}=\alpha v_{2}+\frac{\mu_{0}}{v_{2}}$. Решая систему, получим: $\alpha=\frac{\lambda_{1}v_{1}-\lambda_{2}v_{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}=2.5\frac{г \cdot ч}{км^{2}}$ и $\mu_{0}=\frac{v_{1}v_{2}(v_{1}\lambda_{2}-v_{2}\lambda_{1})}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}=37.5\frac{г}{ч}$. С учётом найденных размерных коэффициентов уравнение для линейного расхода приобретает вид: $\lambda = 2.5v+\frac{37.5}{v}$. График этой зависимости представлен на рисунке ниже.

2  ^?? Какое максимальное время $\tau_{x}$ может работать двигатель у неподвижной модели?

В режиме холостого хода двигатель неподвижной модели сможет проработать $\tau_{x}=\frac{M}{\mu_{0}}=160~мин$. Умножив полученное выражение для $\lambda$ на $v$, получим квадратное уравнение (с размерными коэффициентами, полученными ранее)
$$
2.5v^{2}-\lambda v+37.5=0,
$$
дискриминант которого обращается в ноль при $\lambda_{0}=19.4~г/км$, что соответствует $v_{0}=3.87~км/ч$.

3  ^?? При какой скорости модели $v_{0}$ путевой расход топлива минимален и каково его значение $\lambda_{0}$? Полученные результаты должны быть найдены с погрешностью, не превышающей $1\%$.

4  ^?? На какое максимальное расстояние $L_{0}$ и за какое время $\tau_{0}$ сможет уплыть модель?

Максимальное расстояние, на которое может уплыть модель, двигаясь с оптимальной скоростью, $L_{0}=\frac{M}{\lambda_{0}}=5.2~км$, и на его преодоление требуется время $\tau_{0}=\frac{L_{0}}{v_{0}}=80~мин$. Зависимость предельной дальности движения от скорости приведена на рисунке ниже.

5  ^?? Какие значения $\tau_{1}$ может принимать время прохождения моделью расстояния $L_{1} = 3~км$?

Так как требуемое расстояние $L_{1}=3~км$ меньше предельной дальности $L_{0}$, то модель не обязана придерживаться оптимальной стратегии и может плыть быстрее или медленнее. Из ранее полученного квадратного уравнения $2?5V^{2}-\lambda v+37.5=0$ с учетом $\lambda=\frac{M}{L_{1}}=\frac{100}{3}~г/км$. Выбирая при решении больший корень, находим максимально допустимую скорость $v_{11}=12.1~км/ч$, при которой еще хватает топлива на заданной дистанции $L_{1}$, и получаем соответствующее ей минимально возможное время движения $15~мин$. Большему корню $v_{12}=1.24~км/ч$ соответствует максимально возможное время движения $145~мин$. Окончательно получаем $\tau_{1} \in [15~мин; 145~мин]$.