1  ^?? Через какое время $\tau_{1}$ с момента включения нагревателя температура воды в сосуде увеличится до $t_{1} = 30^{\circ}С$?

Запишем уравнение теплового баланса для времени $\tau_{1}$:
$$
N \tau_{1}=(m+\mu\tau_{1})c(t_{1}-t_{0}), \\
\tau_{1}=\frac{mc(t_{1}-t_{0})}{N-\mu c(t_{1}-t_{0})}=36~с.
$$

2  ^?? До какой максимальной температуры $t_{\max}$ сможет нагреться содержимое сосуда?

Максимальная температура $t_{\max}$ достигается при обращении в ноль знаменателя и равна:
$$
t_{\max}=\frac{N}{\mu c}+t_{0}=44^{\circ}С.
$$

3  ^?? Выведите зависимость скорости $v$ подъема столбика ртути термометра от времени $\tau$ с момента включения нагревателя, если на его шкале расстояние между отметками $t_{0}$ и $t_{1}$ равно $l = 2.0~см$.

Рассмотрим небольшой интервал времени $\Delta \tau$ через время $\tau$ после начала нагрева за который в систему поступает $\mu \Delta\tau$ воды при комнатной температуре. Из уравнения теплового баланса:
$$
N\Delta \tau=(m+\mu \tau)c\Delta t+\mu\Delta \tau c(t+\Delta t-t_{0}),
$$
откуда
$$
\frac{\Delta t}{\Delta \tau}=\frac{Nm}{c(m+\mu \tau)^{2}}.
$$

4  ^?? Определите скорость подъема столбика при температуре $t_{1}$.

Так как $\tau=\tau_{1}$ и с учетом размера шкалы, искомая скорость равна:
$$
v=\frac{Nml}{(t_{1}-t_{0})c(m+\mu \tau)^{2}}=0.32~мм/с.
$$