Движение шайбы можно разложить на две компоненты:
\[ \vec{v} = -\vec{e}_1 u + \vec{e}_2 v_\perp. \]Скорость вдоль нити равна $u$ в силу нерасторжимости нити.

Ускорение шайбы можно записать так, учитывая $\dot{\vec{e}}_1 = \dot{\phi}\vec{e}_2$ и $\dot{\vec{e}}_2 = - \dot{\phi} \vec{e}_1$:
\[\vec{a} = \dot{\vec{v}} = - \dot{\vec{e}}_1 u + \dot{\vec{e}}_2 v_\perp + \vec{e}_2 \dot{v}_\perp = \vec{e}_2 \left( -\dot{\phi}u + \dot{v}_\perp \right) - \vec{e}_1 \dot{\phi} v_\perp\]Единственная сила, действующая на шайбу – это сила натяжения, поэтому $-\dot{\phi} u + \dot{v}_\perp = 0$. Интегрируем от начального момента до конечного:
\[v_\perp = u \cdot 2 \pi N \]Итого,
\[v'= u \sqrt{1 + (2 \pi N)^2}\]