Logo
Logo

Эффективность светодиода

Используя вышеприведенные данные, оцените, какую максимальную теоретически возможную эффективность светодиода.

Наибольшая эффективность светодиода достигается, если он используется в обратном цикле Карно в качестве нагреваемого тела.
Пусть $T_1$ - температура светодиода. Тогда для максимальной эффективности имеем:
$$\eta_{max}=\cfrac{T_1}{T_1-T}
$$

Свяжем длину волны $\lambda$ и частоту излучения $\nu$:
$$\nu=\cfrac{c}{\lambda}
$$
Мощность излучения светодиода равна:
$$P=\cfrac{2\pi hS}{c^2}\int\limits_{\nu_0}^{\infty}\cfrac{\nu^3d\nu}{e^{h\nu/kT_1}-1}{,}\quad\nu_0=\cfrac{c}{\lambda_0}
$$
Пусть температура светодиода равна: $T_1=\alpha\cdot{10^2} \text{К}$, где $\alpha $ - число порядка единицы.
Тогда для нижнего предела интегрирования имеем:
$$\cfrac{hc}{kT_1\lambda_0}\approx{\cfrac{2{,}06}{\alpha}\cdot{10^2}\gg{1}}
$$
С учётом данного соотношения пренебрежём единицей в знаменателе.
Введём величину $t=\cfrac{h\nu}{kT_1}$ и получим:
$$P=\cfrac{2\pi hS}{c^2}\left(\cfrac{kT_1}{h}\right)^4\int\limits_{t_0}^{\infty}t^3e^{-t}dt
$$
Из интегрирования по частям получим рекуррентное соотношение:
$$\int t^ne^{-t}dt=-t^ne^{-t}+n\int t^{n-1}e^{-t}dt
$$
Используя рекуррентное соотношение, найдём:
$$\int\limits_{t_0}^{\infty} t^3e^{-t}dt=-e^{-t}\left(t^3+3t^2+6t+6\right)\bigg|_{t_0}^{\infty}=e^{-t_0}\left(t^3_0+3t^2_0+6t_0+6\right)
$$
Поскольку $t_0\gg{1}$, всеми слагаемыми в скобках, кроме $t^3_0$, можно пренебречь.
Имеем:
$$P=\cfrac{2\pi hS}{c^2}\left(\cfrac{kT_1}{h}\right)^4\left(\cfrac{hc}{kT_1\lambda_0}\right)^3e^{-hc/kT_1\lambda_0}=\cfrac{2\pi hSc^2}{\lambda^4_0}\cfrac{kT_1\lambda_0}{hc}e^{-hc/kT_1\lambda_0}
$$
Вводя величину $\theta=\cfrac{hc}{kT_1\lambda_0}$, получим уравнение:
$$\theta=\cfrac{2\pi hSc^2}{P\lambda^4_0}e^{-\theta}
$$
Решая уравнение численно, найдём:
$$\theta\approx{18{,}26}\Rightarrow{T_1\approx{1127 \text{К}}}
$$
Окончательно получим:

Ответ: $$\eta_\max=\cfrac{T_1}{T_1-T_0}\approx{1{,}35}
$$