Logo
Logo

Магнитная левитация

Чему равна новая частота вертикальных колебаний системы (пластина+груз, колеблющиеся вместе)?

В объёме сверхпроводника магнитное поле равняется нулю. Применяя теорему Гаусса для магнитного поля для тонкого цилиндра с основаниями, параллельными поверхности сверхпроводника, получим:
$$B_n=0{.}
$$
Мы показали, что на поверхности сверхпроводника нормальная компонента магнитного поля равна нулю. Это означает, что поскольку зазор между поверхностью и пластиной мал, а также поскольку расстояние между пластиной и поверхностью много меньше расстояний от отверстий пластины до её краёв - магнитное поле в любой точке зазора можно считать параллельным поверхности и не зависящим от расстояния до неё.
Поскольку пластина сверхпроводящая - магнитный поток $\Phi$, пронизывающий каждое из отверстий, остаётся постоянным. Поток $\Phi$ создаётся силовыми линиями, направленными в зазоре параллельно поверхности. Поскольку относительное расположение отверстий остаётся постоянным - распределение магнитного поля на горизонтальной поверхности пластины также остаётся постоянным с точностью до постоянного множителя.
Из этого следует:
$$B(x,y)h=const{.}
$$
Далее отметим, что поскольку внутри сверхпроводника магнитное поле равно нулю - в каждой точке поверхности пластины величина действующего на неё давления магнитного поля $p_\text{маг}$ прямо пропорциональна $B^2$.
Поймём, как сила отталкивания пластины от поверхности зависит от толщины зазора $h$:
$$F\sim{p_\text{маг}}\sim{B^2}\sim{\cfrac{1}{h^2}}{.}
$$
Таким образом, в дальнейшем сила отталкивания пластины от поверхности при толщине зазора $d$ равна:
$$F=\cfrac{A}{h^2}{.}
$$
Из условия равновесия пластины до помещения на неё груза получим:
$$mg=\cfrac{A}{d^2}
$$
При выведении пластины из положения равновесия:
$$m\ddot{h}=\cfrac{A}{\left(d+\Delta{h}\right)^2}-mg\approx{-\cfrac{2A}{d^3}\Delta{h}}\Rightarrow{\omega^2_0=\cfrac{2A}{md^3}}{.}
$$
Исключая толщину зазора:
$$\omega^2_0=\cfrac{2g^{3/2}}{A^{1/2}}\cdot{m^{1/2}}{.}
$$
Аналогично после помещения груза на пластину:
$$\omega^2=\cfrac{2g^{3/2}}{A^{1/2}}\cdot{\left(M+m\right)^{1/2}}{.}
$$
Учитывая, что
$$\cfrac{\omega}{\omega_0}=\cfrac{\nu}{\nu_0}{,}
$$
получим:

Ответ: $\nu=\nu_0\left(\cfrac{M+m}{m}\right)^{1/4}$