Пронумеруем вершины от $1$ до $n$.
Подключим источник тока к вершинам с номерами $1$ и $n$.
Введём обозначения:
1) $U_{ij}=\varphi_i-\varphi_j$ - напряжение между узлами $i$ и $j$;
2) $I_{ij}$ - сила тока, текущего от узла $i$ к узлу $j$ по соединяющему их резистору.
В силу симметрии схемы можно записать:
$$\varphi_{1+k}+\varphi_{n-k}=\varphi_1+\varphi_n=const\quad\text{при}\quad k\geq{0}
$$
Выберем константу равной нулю. Тогда, при напряжении $U$ подключенного источника:
$$\varphi_1=\cfrac{U}{2}\qquad\varphi_n=-\cfrac{U}{2}
$$
Применим первый закон к Кирхгофа к узлу $i\neq{1{,}n}$:
$$\sum\limits_{j=1}^nI_{ij}=0
$$
Из закона Ома:
$$I_{ij}=\cfrac{U_{ij}}{R_{ij}}
$$
При этом имеем:
$$
\begin{cases}
R_{ij}=R_2=2~\text{Ом}\quad\text{при}\quad{j=i-1{;}~i+1}\\
R_{ij}=R_1=1~\text{Ом}\quad\text{при}\quad{j\neq{i-1{;}~i+1}}
\end{cases}
$$
Отсюда имеем:
$$\sum\limits_{j=1}^nI_{ij}=\sum\limits_{j=1}^{n}\cfrac{\varphi_i-\varphi_j}{R_1}+\left(\cfrac{1}{R_2}-\cfrac{1}{R_1}\right)\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}+\varphi_{i}-\varphi_{i+1}\right)=0
$$
Перепишем данное выражение по другому:
$$\varphi_i\left(\cfrac{2}{R_2}+\cfrac{n-2}{R_1}\right)-\varphi_{i-1}\left(\cfrac{1}{R_2}-\cfrac{1}{R_1}\right)-\varphi_{i+1}\left(\cfrac{1}{R_2}-\cfrac{1}{R_1}\right)=\sum\limits_{j=1}^n\cfrac{\varphi_j}{R_1}
$$
Выражение в правой части уравнения равно нулю. Действительно, с учётом выбранной константы:
$$\varphi_{1+k}=-\varphi_{n-k}
$$
поэтому при чётных значениях $n$ для каждого слагаемого найдётся компенсирующее его, а при нечётных $n$ - $\varphi_{(1+n)/2}=0$.
Подставляя значения $R_1$ и $R_2$, получим следующее рекуррентное соотношение:
$$\varphi_{i+1}+2(n-1)\varphi_i+\varphi_{i-1}=0
$$
Решим рекуррентное соотношение, используя подстановку $\varphi_i=a\lambda^i$:
$$\lambda^2+2(n-1)\lambda+1=0\Rightarrow{\lambda_{1{,}2}=1-n\pm{\sqrt{n^2-2n}}}
$$
Общее решение уравнения следующее:
$$\varphi_i=a_1\lambda^i_1+a_2\lambda^i_2
$$
Определим $a_1$ и $a_2$ из граничных условий:
$$
\begin{cases}
\varphi_1=\cfrac{U}{2}=a_1\lambda_1+a_2\lambda_2\\
\varphi_n=-\cfrac{U}{2}=a_1\lambda^n_1+a_2\lambda^n_2
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
a_1=-\cfrac{U\left(\lambda_2+\lambda^n_2\right)}{2\lambda_1\lambda_2\left(\lambda^{n-1}_1-\lambda^{n-1}_2\right)}\\
a_2=\cfrac{U\left(\lambda_1+\lambda^n_1\right)}{2\lambda_1\lambda_2\left(\lambda^{n-1}_1-\lambda^{n-1}_2\right)}
\end{cases}
$$
Найдём силу тока $I$, втекающего в узел $1$:
$$I=\sum\limits_{j=2}^nI_{1{,}j}=\sum\limits_{j=1}^nI_{1{,}j}=\sum\limits_{j=1}^n\cfrac{\varphi_1-\varphi_j}{R_{1j}}=\sum\limits_{j=1}^n\cfrac{\varphi_1-\varphi_j}{R_1}+\left(\cfrac{1}{R_2}-\cfrac{1}{R_1}\right)(\varphi_1-\varphi_2+\varphi_1-\varphi_n)
$$
Вспоминая, что $\sum\limits_{j=1}^n\varphi_{1j}=0$:
$$I=\varphi_1\left(\cfrac{2}{R_2}+\cfrac{n-2}{R_1}\right)+\varphi_2\left(\cfrac{1}{R_1}-\cfrac{1}{R_2}\right)+\varphi_n\left(\cfrac{1}{R_1}-\cfrac{1}{R_2}\right)
$$
Подставляя полученные ранее величины:
$$IR_1=\cfrac{U}{4}\left(2n-3+\cfrac{\lambda_2\left(1+\lambda^{n-1}_1\right)-\lambda_1\left(1+\lambda^{n-1}_2\right)}{\lambda^{n-1}_1-\lambda^{n-1}_2}\right)
$$
Учитывая, что $\lambda_1\lambda_2=1$:
$$IR_1=\cfrac{U}{4}\left(2n-3+\cfrac{(1+\lambda^{n-1})(\lambda^{n-2}-\lambda_1)}{\lambda^{2(n-1)}-1}\right)
$$
Сокращая:
$$IR_1=\cfrac{U}{2}\left(n-1+\cfrac{(\lambda_1-1)(1+\lambda^{n-2}_1)}{2(1-\lambda^{n-1}_1)}\right)
$$
и окончательно: