Пусть угол между пластинами равен $2\alpha$. Поскольку длины нитей равны ширине пластин, угол между нитями также равен $2\alpha$. Угол между пластинами в положении равновесия обозначим за $2\alpha_0$.
Площадь поперечного сечения жидкости $S$ равна:
$$S=\displaystyle\frac{l^2\sin2\alpha_0}{2}
$$
Пусть при угле между пластинами $2\alpha$ ширина соприкосновения жидкости с пластинами равна $L$. Поскольку жидкость несжимаема, при любом значении угла между пластинами площадь поперечного сечения жидкости равна $S$, откуда:
$$L(\alpha)=l\sqrt{\displaystyle\frac{\sin2\alpha_0}{\sin2\alpha}}
$$
Введём ось $y$, направленную вертикально вверх, начало которой расположено в точке крепления нитей.
Центр масс жидкости расположен в точке пересечения медиан треугольника, образованного поперечным сечением жидкости. Тогда при произвольном значении угла $2\alpha$ координата $y$ центра масс жидкости следующая:
$$y_{\text{цм}}=\displaystyle\frac{2L\cos\alpha}{3}-2l\cos\alpha
$$
или же, подставив полученное ранее выражение для $L(\alpha)$:
$$y_{\text{цм}}=l\left(\displaystyle\frac{2}{3}\sqrt{\displaystyle\frac{\sin\alpha_0\cos\alpha_0}{\tan\alpha}}-2\cos\alpha\right)
$$
В положении равновесия потенциальная энергия жидкости в поле тяжести Земли минимальна. Для нахождения минимума найдём производную $y_{\text{цм}}$ по углу $\alpha$
$$\displaystyle\frac{dy_{\text{цм}}}{d\alpha}=l\left(2\sin\alpha-\displaystyle\frac{1}{3}\sqrt{\displaystyle\frac{\sin\alpha_0\cos\alpha_0}{\sin^3\alpha\cos\alpha}}\right)
$$
и, подставив значение $\alpha=\alpha_0$, приравняем её к нулю:
$$2\sin\alpha_0=\displaystyle\frac{1}{3\sin\alpha_0}\Rightarrow\sin^2\alpha_0=\displaystyle\frac{1}{6}
$$
Воспользуемся тригонометрическим преобразованием
$$\cos2\alpha_0=1-2\sin^2\alpha_0
$$
откуда:
Приращение потенциальной энергии жидкости в поле тяжести Земли вблизи значения $\alpha_0$ можно записать в следующем виде:
$$\Delta{W}_p=\displaystyle\frac{mg\Delta{\alpha}^2}{2}\displaystyle\frac{d^2y_{\text{цм}}}{d\alpha^2}
$$
Найдём вторую производную координаты $y_{\text{цм}}$ по углу $\alpha$ в положении $\alpha=\alpha_0$:
$$\displaystyle\frac{d^2y_{\text{цм}}}{d\alpha^2}=l\left(2\cos\alpha_0+\displaystyle\frac{3\cos^2\alpha_0-\sin^2\alpha_0}{6\sin^2\alpha_0\cos\alpha_0}\right)
$$
Для удобства приведём выражение к переменной $\cos2\alpha$:
$$\displaystyle\frac{d^2y_{\text{цм}}}{d\alpha^2}=l\sqrt{2}\left(\sqrt{1+\cos2\alpha_0}+\displaystyle\frac{1+2\cos2\alpha_0}{3(1-\cos2\alpha_0)\sqrt{1+\cos2\alpha_0}}\right)
$$
Масса жидкости равна:
$$m=\displaystyle\frac{{\rho}Ll^2\sin2\alpha_0}{2}
$$
Окончательно для приращения потенциальной энергии получим:
$$\Delta{W}_p=\displaystyle\frac{{\rho}gLl^3\sin2\alpha_0}{2\sqrt{2}}\left(\sqrt{1+\cos2\alpha_0}+\displaystyle\frac{1+2\cos2\alpha_0}{3(1-\cos2\alpha_0)\sqrt{1+\cos2\alpha_0}}\right)\Delta{\alpha}^2
$$
Подставим полученное ранее значение $\alpha_0$:
$$\Delta{W}_p=\rho gLl^3\sqrt{\displaystyle\frac{2}{3}}\Delta{\alpha}^2
$$
Перейдём к поиску кинетической энергии жидкости $E_k$.
Из теоремы Кёнига следует, что её можно записать в следующем виде:
$$E_k=E_{k_{\text{цм}}}+E_{k_{\text{отн}}}
$$
где $E_{k_{\text{цм}}}$ - кинетическая энергия движения центра масс, а $E_{k_{\text{отн}}}$ - кинетическая энергия движения относительно центра масс.
Найдём скорость центра масс:
$$\displaystyle\frac{dy_{\text{цм}}}{dt}=\displaystyle\frac{dy_{\text{цм}}}{d\alpha}\displaystyle\frac{d\alpha}{dt}
$$
Поскольку в положении равновесия величина $\displaystyle\frac{dy_{\text{цм}}}{d\alpha}=0$, кинетической энергией движения центра масс можно пренебречь.
Распределение скоростей жидкости проще всего найти, рассмотрев её движение в системе отсчёта, связанной с шарнирным соединением пластин.
Введём систему координат $xy'$ лежащую в плоскости рисунка. Ось $y'$ направлена вертикально вниз, а ось $x$ направлена, для определённости, влево (в действительности, в силу симметрии её направление не имеет значения), а начало координат расположено в точке шарнирного соединения пластин.
Элементы жидкости, контактирующие с красной пластиной, по всей площади контакта имеют проекцию вектора скорости на ось $y'$, равную скорости красной пластины $v_{\text{к}}$, выражение для которой следующее:
$$v_{\text{к}}(\alpha_0)=\displaystyle\frac{l\dot{\alpha}}{2\sin\alpha_0}
$$
Проведём в жидкости некоторое сечение $S$, параллельное красной пластине. Из подобия треугольников следует, что проекция скорости сечения $S$ на ось $y'$ прямо пропорциональна соответствующей координате, что говорит о том, что во всех точках жидкости с координатой $y'$ проекции их скоростей на соответствующую ось должны быть одинаковы в силу подобия течений. Значит, для зависимости $v_{y'}(y')$ имеем:
$$v_{y'}(y')=\displaystyle\frac{v_{\text{к}}}{l\cos\alpha_0}y'=\displaystyle\frac{\dot{\alpha}}{\sin2\alpha_0}y'
$$
Перейдём к распределению горизонтальных составляющих скоростей жидкости. В силу симметрии понятно, что $v_x(0,y')=0$. Далее, воспользуемся уравнением несжимаемости жидкости:
$$\nabla\vec{v}=\displaystyle\frac{\partial{v}_x}{\partial{x}}+\displaystyle\frac{\partial{v}_y'}{\partial{y'}}=0
$$
откуда:
$$\displaystyle\frac{\partial{v}_x}{\partial{x}}=-\displaystyle\frac{\dot{\alpha}}{\sin2\alpha_0}=const
$$
и, поскольку $v_x(0,y')=0$:
$$v_x(x)=-\displaystyle\frac{\dot{\alpha}}{\sin2\alpha_0}x
$$
Вернёмся в неподвижную систему отсчёта. Распределение вертикальных компонент скорости при этом изменится. Если в положении центра масс жидкости ввести вертикально вниз ось $y$, то вектор скорости выражается следующим образом:
$$\vec{v}=\displaystyle\frac{\dot{\alpha}}{\sin2\alpha_0}(-x\vec{e}_x+y\vec{e}_y)
$$
Тогда кинетическую энергию движения относительно центра масс можно записать в виде:
$$E_k=\int \displaystyle\frac{v^2dm}{2}=\displaystyle\frac{\dot{\alpha}^2}{2\sin^2 2\alpha_0}\int (x^2+y^2)dm
$$
Заметим, что последний интеграл в точности равен моменту инерции жидкости относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости рисунка. Найдём его.
Рассмотрим произвольный треугольник массы $m$ с произвольными сторонами $a$, $b$ и $c$. Любой треугольник можно разбить на $4$ одинаковых. Тогда уравнение для момента инерции следующее:
$$I=4\cdot{\displaystyle\frac{I}{16}}+\displaystyle\frac{m\left(M^2_a+M^2_b+M^2_c\right)}{4\cdot{9}}
$$
где $M^2_a, M^2_b, M^2_c$ - квадраты длин медиан, проведённых к сторонам $a$, $b$ и $c$. Выражения для них следующие:
$$M^2_a=\displaystyle\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\quad M^2_b=\displaystyle\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\quad M^2_c=\displaystyle\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}
$$
откуда:
$$I=\displaystyle\frac{m(a^2+b^2+c^2)}{36}
$$
Отсюда, для кинетической энергии получим:
$$E_k=\displaystyle\frac{{\rho}Ll^4(2-\cos2\alpha_0)\dot{\alpha}^2}{72\sin2\alpha_0}
$$
После подстановки значения $\alpha_0$:
$$E_k=\displaystyle\frac{{\rho}Ll^4\dot{\alpha}^2}{18\sqrt{5}}
$$
Выражение для полной энергии следующее:
$$\displaystyle\frac{{\rho}Ll^4\dot{\alpha}^2}{18\sqrt{5}}+\rho gLl^3\sqrt{\displaystyle\frac{2}{3}}\Delta{\alpha}^2=E
$$
Дифференцируя, получим: