Минимальной температуры кусочка льда можно добиться, проводя одновременно прямой и обратный циклы Карно. Работа, совершаемая в прямом цикле уходит на совершение работы над телом, работающим по обратному циклу.
Отметим, что рассматриваемые циклы Карно являются бесконечно малыми.
В прямом цикле вода - нагреватель, а лёд массой $m\left(1-\cfrac{1}{n}\right)$ - холодильник.
В обратном цикле лёд массой $\cfrac{m}{n}$ - нагреватель, а вода - холодильник.
Количества теплоты, отданное льдом в обратном цикле обозначим за $\delta{Q}_1$, а количества теплоты, полученное льдом в прямом цикле - за $\delta{Q}_2$.
Для цикла Карно справедливо:
$$A=Q_\text{н}-Q_\text{х}{,}\quad\cfrac{Q_\text{х}}{T_\text{х}}=\cfrac{Q_\text{н}}{T_\text{н}}\Rightarrow{A=Q_\text{х}\left(\cfrac{T_\text{н}}{T_\text{х}}-1\right)}
$$
Пусть $T_1$, $T_2$ и $T_\text{в}$ - температуры кусочков льда массами $\cfrac{m}{n}$, $m\left(1-\cfrac{1}{n}\right)$ и воды соответственно. Из равенства работ в циклах имеем:
$$\delta{Q}_1\left(\cfrac{T_\text{в}}{T_1}-1\right)=\delta{Q}_2\left(\cfrac{T_\text{в}}{T_1}-2\right)
$$
Процесс возможен, пока температура льда массой $m\left(1-\cfrac{1}{n}\right)$ не станет равна температуре воды. Поскольку $\alpha{T}_0t\ll{\lambda}$ - будем считать, что масса $m$, изначально состоявшая из воды, в течении всего процесса остаётся двухфазной системой, и, как следствие, имеет температуру $T_0$. После получения ответа проанализируем, оправдано ли предположение.
Для количеств теплоты $\delta{Q}_1$ и $\delta{Q}_2$ имеем:
$$\delta{Q}_1=-\cfrac{\alpha T_1m}{n}dT_1\qquad\delta{Q}_2=\alpha T_2m\left(1-\cfrac{1}{n}\right)dT_2
$$
Пусть $T$ - конечная температура льда массой $\cfrac{m}{n}$. Подставляя $\delta{Q}_1$, $\delta{Q}_2$ и интегрируя, найдём:
$$\cfrac{\alpha m}{2n}\left(T_0-T_1\right)^2\bigg|_{T_0-t}^{T}=\cfrac{\alpha m}{2}\left(1-\cfrac{1}{n}\right)^2\left(T_0-T_2\right)\bigg|_{T_0-t}^{T_0}
$$
откуда:
$$\left(T_0-T\right)^2=nt^2\Rightarrow{T=T_0-t\sqrt{n}}
$$
Проанализируем полученный ответ.
Поскольку система замкнута, а циклы Карно обратимы - изменение энтропии системы равняется нулю. Имеем:
$$\Delta{S}=-\cfrac{\alpha m}{n}\left(T_0-t\sqrt{n}-T_0+t\right)+\alpha m\left(1-\cfrac{1}{n}\right)t-\cfrac{\lambda\Delta{m}}{T_0}=0
$$
где $\Delta{m}$ - масса воды, перешедшей в твёрдую фазу. Для неё находим:
$$\Delta{m}=\cfrac{\alpha mT_0t}{\lambda}\left(1-\cfrac{1}{\sqrt{n}}\right)\ll{m}
$$
Таким образом, предположение о постоянном наличии воды в системе оправдано.
Окончательно: