Покажите, что фокусы этих парабол лежат на некоторой, хорошо известной, кривой. Найдите параметр(ы), определяющие эту кривую.
Покажем, что директриса каждой из парабол - горизонтальная прямая, проходящая через точку старта шарика.
Пусть $v_x$ - горизонтальная компонента скорости шарика. Введём систему координат $xy$, где ось $y$ направлена вверх. Тогда уравнение параболы относительно вершины:
$$y=-\cfrac{gx^2}{2v^2_x}
$$
Уравнение параболы c фокальным параметром $p$ относительно фокуса:
$$y=\cfrac{p}{2}-\cfrac{x^2}{2p}
$$
Отсюда находим фокальный параметр параболы при движении шарика:
$$p=\cfrac{v^2_x}{g}
$$
Заметим, что расстояние от верхней точки траектории до директрисы равно:
$$h_0=\cfrac{p}{2}=\cfrac{v^2_x}{2g}
$$
Из полученного результата следует, что при расстоянии $h$ между точкой траектории и директрисой параболы скорость шарика равна:
$$v^2=2gh
$$
Из этого следует, что директриса каждой из парабол - горизонтальная прямая, проходящая через точку $A$ старта шарика.
Рассмотрим произвольное соударение шарика с плоскостью.
Пусть перед соударением скорость шарика направлена под углом $\varphi$ к вертикали. Тогда сразу после удара скорость шарика направлена под углом $\varphi+2\alpha$ к вертикали, поскольку соударения шарика с плоскостью упругие, и, как следствие, векторы скоростей $\vec{v}_\text{пад}$ и $\vec{v}_\text{отр}$ до падения и после отражения от плоскости соответственно образуют равные углы $\theta=\varphi+\alpha$ с нормалью к ней.
Заметим, что фокусы парабол $F_i$ и $F_{i+1}$ до и после соударения соответственно лежат на окружности с центром в точке удара и радиусом, равным расстоянию от точки удара до директрисы.
Также, поскольку при движении по параболе вектор скорости шарика направлен вдоль биссектрисы угла между направлениями на фокус и директрису - фокусы $F_i$ и $F_{i+1}$ лежат на прямых, составляющих углы $2\varphi$ и $2\varphi+4\alpha$ с вертикалью соответственно.
Определим угол, который отрезок $F_iF_{i+1}$ образует с горизонтом. Для этого отразим фокус $F_i$ относительно вертикали и отражённую точку назовём $F'_i$. Тогда угол $\angle{F'_iF_iF_{i+1}}$ и будет представлять собой угол между отрезком $F_iF_{i+1}$ и горизонтом. Поскольку угловой размер дуги $F_iF_{i+1}$ равен $4(\varphi+\alpha)$, а угловой размер дуги $F_iF'_i$ равен $4\varphi$ - угловой размер дуги $F'_iF_{i+1}$ равен $4\alpha$. Отсюда следует, что отрезок, соединяющий фокусы парабол до и после соударения, образует угол $\beta=2\alpha$ с горизонтом как вписанный угол, опирающийся на дугу $4\alpha$.
Поскольку рассуждения проводились для произвольного ударения, и поскольку прямая - вырожденный случай параболы с нулевым фокальным параметром:
Ответ:
Фокусы парабол лежат на прямой, направленной под углом $2\alpha$ к горизонту и проходящей через точку старта шарика.
