Насколько изменится сопротивление между узлами $(0, 0)$ и $(1, 1)$, если закоротить узлы $(n, n)$ и $(n+1, n+1)$? Иными словами, определите разность $R_{11}'-R_{11}$, где $R_{11}'$ — это новое сопротивление между узлами $(0, 0)$ и $(1, 1)$ после закорачивания узлов $(n, n)$ и $(n+1, n+1)$. Считайте, что $n > 1$.

Сначала рассмотрим сетку до замыкания узлов $\left(n{,}n\right)$ и $\left(n+1{,}n+1\right)$ проводом.
Подключим источника тока силой $I$ к узлам $\left(0{,}0\right)$ и $\left(n{,}n\right)$. При этом разность потенциалов между узлами равна:
$$\varphi_{00}-\varphi_{nn}=IR_{nn}
$$
Данное подключение получается наложением двух других:
1) ток силой $I$ течёт от узла $\left(0{,}0\right)$ до бесконечности;
2) ток силой $I$ течёт от бесконечности до узла $\left(n{,}n\right)$.
Введённая в условии система координат может быть перенесена в любой из узлов, поскольку они неотличимы друг от друга. Из этого также следует, что при растекании тока $I$ от узла $\left(0{,}0\right)$ до бесконечности, между узлами $\left(0{,}0\right)$ и $\left(n{,}n\right)$ возникает разность потенциалов, равная половине разности потенциалов при наложении:
$$\varphi'_{00}-\varphi'_{nn}=\cfrac{IR_{nn}}{2}
$$
Пусть $A$, $B$ и $C$ - узлы с координатами $\left(0{,}0\right)$, $\left(1{,}1\right)$ и $\left(n{,}n\right)$ соответственно.
Найдём разность потенциалов $\varphi_A-\varphi_C$ между точками $A$ и $C$ при протекании тока силой $I$ между точками $A$ и $B$.
При течении тока силой $I$ от узла $A$ до бесконечности, между узлами $A$ и $C$ возникает разность потенциалов, равная:
$$\varphi_{A_A}-\varphi_{A_B}=\cfrac{IR_{nn}}{2}
$$
Далее, при токе силой $I$ от бесконечности до узла $B$ между точками $B$ и $C$, а также между точками $B$ и $A$ возникают разности потенциалов, равные:
$$\varphi_{B_B}-\varphi_{B_C}=-\cfrac{IR_{(n-1)(n-1)}}{2}\qquad\varphi_{B_B}-\varphi_{B_A}=-\cfrac{IR_{11}}{2}
$$
Найдём при данном подключении:
$$\varphi_{2A}-\varphi_{2C}=\cfrac{I\left(R_{11}-R_{(n-1)(n-1)}\right)}{2}
$$
Складывая разности потенциалов от двух подключений, найдём:
$$\varphi_A-\varphi_C=\cfrac{I\left(R_{nn}-R_{(n-1)(n-1)}+R_{11}\right)}{2}
$$
Введём обозначение:
$$r_0=R_{11}=\cfrac{2\sqrt{Rr}}{\pi}
$$
Тогда получим:
$$\varphi_A-\varphi_C=\cfrac{Ir_0}{2}\left(\sum\limits_{k=1}^n\cfrac{1}{2k-1}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\cfrac{1}{2k-1}+1\right)=\cfrac{Ir_0}{2}\cdot{\cfrac{2n}{2n-1}}
$$
Пусть $D$ - узел с координатами $\left(n+1{,}n+1\right)$. Заменяя $n$ на $n+1$, найдём:
$$\varphi_A-\varphi_D=\cfrac{Ir_0}{2}\cdot{\cfrac{2n+2}{2n+1}}
$$
Тогда для разности потенциалов между точками $D$ и $C$ получим:
$$\varphi_D-\varphi_C=\cfrac{Ir_0}{2}\left(\cfrac{2n}{2n-1}-\cfrac{2n+2}{2n+1}\right)=\cfrac{Ir_0}{4n^2-1}
$$

При протекании тока силой $I$ между узлами $\left(0{,}0\right)$ и $\left(1{,}1\right)$ замыкание узлов $\left(n{,}n\right)$ и $\left(n+1{,}n+1\right)$ эквивалентно подключению к ним источника с ЭДС $\mathcal{E}_{n{,}n+1}$, равной:
$$\mathcal{E}_{n{,}n+1}=\varphi_D-\varphi_C=\cfrac{Ir_0}{4n^2-1}
$$
поскольку при таком подключении разность потенциалов между узлами равна нулю.
Через источник с такой ЭДС протекает ток силой $I_1$, равной:
$$I_1=\cfrac{\mathcal{E}_{n{,}n+1}}{r_0}=\cfrac{I}{4n^2-1}
$$
Включение данного источника в цепь приводит к дополнительной разности потенциалов $\varphi_{1_A}-\varphi_{1_B}$ между узлами $\left(0{,}0\right)$ и $\left(1{,}1\right)$, равной:
$$\varphi_{1_A}-\varphi_{1_B}=-\cfrac{I_1r_0}{4n^2-1}
$$
поскольку при повороте сетки на $180^\circ$ и изменении силы тока $I_1$ на противоположную распределение токов с точностью до постоянного множителя совпадает с найденным выше для подключения к узлам $A$ и $B$.
Для $R_{11}'-R_{11}$ имеем:
$$R_{11}'-R_{11}=\cfrac{\varphi_{1_A}-\varphi_{1_B}}{I}=-\cfrac{I_1r_0}{I(4n^2-1)}
$$
Подставляя $r_0$ и $\cfrac{I_1}{I}$, окончательно получим: