Рассмотрим растекание тока $I$ от одного электрода по поверхности листа. Пусть толщина листа равна $h$. Тогда на расстоянии $r$ от электрода плотность тока $j$ в силу симметрии равна:
$$j(r)=\frac{I}{2\pi rh}
$$
Из закона Ома в дифференциальной форме получим:
$$\vec{E}=\vec{j}\rho
$$
Учитывая, что $\rho_s=\displaystyle\frac{\rho}{h}$, найдём электрическое поле в пластине на расстоянии $r$ от электрода
$$\vec{E}=\frac{I\rho_s}{2\pi r}\vec{e}_r
$$
Таким образом, электрическое поле, возникающее в пластине, эквивалентно полю бесконечной заряженной нити, расположенной перпендикулярно листу в месте нахождения электрода.
При протекании электрического тока между электродами электрическое поле в пластине эквивалентно полю двух бесконечных заряженных нитей с некоторыми линейными плотностями $\lambda$ и $-\lambda$, расположенных в точках $A$ и $B$ соответственно перпендикулярно листу, что напрямую следует из наложения токов друг на друга.
Подключим электроды к кругу, как сказано в условии. Сразу отметим, что на его границе должна отсутствовать нормальная компонента вектора плотности тока $j_n$, а значит и нормальная компонента электрического поля $E_n$, поскольку заряд не может вытекать из круга в окружающую среду. Это приводит к перераспределению зарядов в объёме круга, чтобы создать электрическое поле, удовлетворяющее данному граничному условию, а также условию постоянства во времени заряда круга. Таким образом, задача свелась к нахождению распределения электрического поля внутри круга.
Для этого решим следующую электростатическую задачу: Рассмотрим бесконечную заряженную с линейной плотностью заряда $\lambda_1$ нить $O_1$, расположенную внутри цилиндра радиуса $R$ на расстоянии $l
Для нормальной компоненты поля нити $O_1$ имеем:
$$E_{1_\perp}=\frac{k\lambda_1(R-l\cos\varphi)}{R^2+l^2-2Rl\cos\varphi}
$$
Вводя величину $a=\displaystyle\frac{l}{R}$, получим:
$$E_{1_\perp}=\frac{k\lambda_1}{R}\frac{1-a\cos\varphi}{1+a^2-2a\cos\varphi}=\frac{k\lambda_1}{R}\left(1+\frac{a(\cos\varphi-a)}{1+a^2-2a\cos\varphi}\right)
$$
Далее, рассмотрим нить $O_2$ с некоторой линейной плотностью заряда $\lambda_2$, расположенную на расстоянии $L
$$
Вводя величину $b=\frac{R}{L}$
$$E_{2_\perp}=\frac{k\lambda_2}{L}\frac{b-\cos\varphi}{1+b^2-2b\cos\varphi}
$$
Как можно увидеть, при $a=b$ дроби, зависящие от $\varphi$, совпадают. Суммарная нормальная компонента электрического поля на поверхности цилиндра равна:
$$E_{\perp}=E_{1_\perp}+E_{2_\perp}=\frac{k\lambda_1}{R}+\frac{k(\cos\varphi-a)}{1+a^2-2a\cos\varphi}\left(\frac{\lambda_1a}{R}-\frac{\lambda_2}{L}\right)
$$
Отсюда видно, что при $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ нормальная компонента электрического поля является постоянной и равной $E_\perp=\frac{k\lambda}{R}$. Таким образом, для компенсации нормальной компоненты электрического поля на поверхности цилиндра к системе также нужно добавить нить с линейной плотностью заряда $-\lambda$, расположенную на оси цилиндра.
Далее, отметим, что при рассмотрении пары нитей с линейным плотностями заряда $\lambda$ и $-\lambda$ нити, расположенные на оси цилиндра, компенсируют друг друга, и распределение электрического поля создаётся лишь четырьмя нитями $A$, $A_1$, $B$ и $B_1$.
Для сопротивления между электродами $A$ и $B$ имеем:
$$R_2=\frac{\varphi_A-\varphi_B}{I}=R_1+\frac{\Delta{\varphi}_{A_1}+\Delta{\varphi}_{B_1}}{I}
$$
где $\Delta{\varphi}_{A_1}$ и $\Delta{\varphi}_{B_1}$ - разности потенциалов между точками $A$ и $B$. создаваемые нитями, расположенными в точках $A_1$ и $B_1$. Для них имеем:
$$\Delta{\varphi}_{A_1}=\frac{I\rho_s}{2\pi}\int\limits_{A_1A}^{A_1B}\frac{dr}{r}=\frac{I\rho_s}{2\pi}\ln\frac{A_1B}{A_1A}\quad\Delta{\varphi}_{B_1}=\frac{I\rho_s}{2\pi}\int\limits_{B_1B}^{B_1A}\frac{dr}{r}=\frac{I\rho_s}{2\pi}\ln\frac{B_1A}{B_1B}
$$
В нашей задаче
$$AA_1=BB_1=\frac{2R^2\cos\frac{\varphi}{2}}{s}-\frac{s}{2\cos\frac{\varphi}{2}}
$$
$$A_1B=AB_1=\sqrt{s^2+\left(\frac{2R^2\cos\frac{\varphi}{2}}{s}-\frac{s}{2\cos\frac{\varphi}{2}}\right)^2+2s\left(\frac{2R^2\cos\frac{\varphi}{2}}{s}-\frac{s}{2\cos\frac{\varphi}{2}}\right)\sin\frac{\varphi}{2}}
$$
откуда окончательно получим: