Распределение теплового потока в пространстве описывается с помощью закона Фурье:
$$\vec{q}=-\kappa\nabla{T}
$$
где $\vec{q}$ - плотность теплового потока, $T$ - температура среды, $\kappa$ - коэффициент теплопроводности среды.
При этом на границе раздела сред $1$ и $2$ выполняются граничные условия:
$$q_{1n}=q_{2n}\qquad\left(\nabla{T}\right)_{1\tau}=\left(\nabla{T}\right)_{2\tau}
$$
где индексы $n$ и $\tau$ обозначают нормальную и касательную компоненту векторов.
Заметим, что данная система уравнений эквивалентна системе уравнений, описывающей распределения электрических полей в однородном диэлектрике:
$$\begin{cases}
\vec{q}=-\kappa\nabla{T}\\
q_{1n}=q_{2n}\\
\left(\nabla{T}\right)_{1\tau}=\left(\nabla{T}\right)_{2\tau}
\end{cases}
\quad\text{и}\quad
\begin{cases}
\vec{D}=\varepsilon\varepsilon_0\vec{E}=-\varepsilon\varepsilon_0\nabla{\varphi}\\
D_{1n}=D_{2n}\\
E_{1\tau}=E_{2\tau}
\end{cases}
$$
Данная эквивалентность систем уравнений позволяет решать более известную задачу - о конденсаторе, заполненным веществом с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, между обкладками которого поместили шарик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon^*$.
Поток вектора $\vec{q}$ между пластинами эквивалентен потоку вектора $\vec{D}$.
Окружим одну из обкладок конденсатора замкнутой поверхностью. Поскольку вне конденсатора электрические поля равны нулю, поток вектора $\vec{D}$ между обкладками конденсатора равен заряду одной из обкладок:
$$\Phi_D=Q
$$
Но заряд обкладок конденсатора связан с его ёмкостью и напряжением:
$$Q=CU
$$
Далее отметим, что разность температур между пластинами эквивалентна напряжению на конденсаторе и остаётся постоянной. Тогда далее будем связывать разность температур пластин с тепловым потоком между ними с помощью коэффициента $\alpha$:
$$P=\alpha\left(T_1-T_2\right)
$$
При внесении шарика между пластинами конденсатора его ёмкость изменится, что приводит к изменению заряда на обкладках конденсатора:
$$\Delta{Q}=\Delta{C}U
$$
Аналогично для теплового потока:
$$\Delta{P}=\Delta{\alpha}\left(T_1-T_2\right)
$$
Таким образом, задача свелась к нахождению изменения ёмкости конденсатора при внесении шарика между его пластинами.
Рассмотрим среду с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, электрическое поле внутри которой равно $\vec{E}_0$.
Поместим в неё шар радиуса $R$ из вещества с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon^*$.
Внутри шара будем искать решение в виде однородного поля $E_{in}$, а шара - в виде суперпозиции поля $E_0$ и поля диполя с дипольным моментом $p$ в центре шара.
Из граничных условий на поверхности шара получим:
$$\begin{cases}
D_{1n}=D_{2n}\\
E_{1n}=E_{2n}
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\varepsilon^*E_{in}=\varepsilon\left(E_0+\cfrac{2p}{4\pi\varepsilon_0R^3}\right)\\
E_{in}=E_0-\cfrac{p}{4\pi\varepsilon_0R^3}
\end{cases}
$$
Решая систему уравнений, имеем:
$$E_{in}=\cfrac{3\varepsilon E_0}{\varepsilon^*+2\varepsilon}\qquad p=4\pi\varepsilon_0R^3E_0\cfrac{\varepsilon^*-\varepsilon}{\varepsilon^*+2\varepsilon}
$$
Система должна быть электрически нейтральной, т.е обладать нулевым дипольным моментом. Это возможно, если заряды обкладок изменятся на величину, равную:
$$\Delta{Q_\text{полн}}=\cfrac{p}{L}
$$
где
$$\Delta{Q}_\text{полн}=\Delta{Q}+\Delta{Q}_\text{пол}=\cfrac{\Delta{Q}}{\varepsilon}
$$
Отсюда имеем:
$$\Delta{Q}(\varepsilon^*)=\cfrac{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R^3E_0}{L}\cfrac{\varepsilon^*-\varepsilon}{\varepsilon^*+2\varepsilon}
$$
Когда внутри шарика была полость - $\varepsilon^*\ll{\varepsilon}$.
Отсюда:
$$\Delta{Q}_\text{пол}=-\cfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon R^3E_0}{L}
$$
Когда шар заполнен веществом - $\varepsilon^*\gg{\varepsilon}$.
Отсюда:
$$\Delta{Q}_\text{вещ}=\cfrac{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R^3E_0}{L}
$$
При наполнении получим:
$$\Delta{Q}'=\cfrac{6\pi\varepsilon_0\varepsilon R^3E_0}{L}
$$
Сопоставляя величины, для изменения теплового потока находим: