Российский учёный К. Э. Циолковский упростил модель запуска ракеты и вывел самое первое уравнение её движения, которое послужило теоретической основой современного ракетостроения. Упрощённо модель можно описать так: изначально ракета находится в определённой точке лабораторной системы отсчёта, внешними силами, действующими на ракету можно пренебречь, начальная масса покоя ракеты (включая топливо) равна $M_i$. Пуск происходит в момент $t = 0$. Ракета выпускает газ влево, скорость газа относительно ракеты постоянна и равна $v_e$. При этом в ЛСО ракета движется вправо со скоростью $v_1$, а скорость выпускаемого газа в ЛСО равна $v_2$, как показано на рисунке. Масса ракеты по окончании работы равна $M$.

1  ^5.00 В приближении Ньютоновой механики выведите соотношение между скоростью ракеты $v_1$ и отношением масс $\frac{M}{M_i}$.

2  ^8.00 В рамках релятивистской механики выведите соотношение между скоростью ракеты $v_1$ и отношением масс $\frac{M}{M_i}$.

3  ^2.00 Когда $v_1 \ll c$, найдите разницу между этими двумя результатами с точностью до членов порядка $\big( \frac{v_1}{c} \big)^2$.