Pho.rs: Магнитная сборка Халбаха

A1 ^0.50 Магнитное поле ослабляется с увеличением расстояния, для заданного угла $\theta$ найдите зависимость магнитного поля $B$ на расстоянии $r$ от диполя.

1 Ответ $\dfrac {\mu_0 m}{4\pi r^3}\sqrt{4\cos^2\theta+\sin^2\theta}$

0.50

B1 ^1.50 Выразите магнитное поле $B(y)$ вдоль оси, перпендикулярной магниту, на расстоянии $y$ от центра.

1 Поле кольца $dB(y,x)=\dfrac {\mu_0 \sigma}{2} \left(\dfrac{3y^2 x\,dx}{(x^2+y^2)^{5/2}}-\dfrac{x\,dx}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right)$	0.70
2 Ответ $B(y)=\dfrac{\mu_0 \sigma}{2} \cdot \dfrac{R^2}{(R^2+y^2)^{3/2}} $	0.80

B2 ^0.50 Оцените величину магнитного поля вблизи поверхности магнита. Ответ выразите через величины $t,~D,~\rho,~\mu_0$.

1 Ответ $B_0=\dfrac{\mu_0 \rho t}{2 R}$	0.30
2 Ответ $B_0=0.13~\text{Тл}$	0.20

B3 ^0.50 Получите выражение и численное значение силы взаимодействия $F_0$ между дверью и прижатым к ней магнитом, также вычислите давление $P_0$ магнита на дверь.

1 Выражение $F =\dfrac{S B_0^2}{2\mu_0}=2.2 \ \text{Н}$	0.30
2 Ответ $P=\dfrac{B_0^2}{2\mu_0}=6,9 \ \text{кПа}$	0.20

C1 ^2.00 Запишите выражение для поля $\vec B(\vec r_0, y)$ которое создает ряд магнитов. (Для удобства поле выражается и через $\vec r_0$, и через $y$, хотя технически $y = (\vec r_0)_y$.)

1 Выписано поле, через интеграл $\vec B= \dfrac{\mu_0 }{4 \pi}\left(\displaystyle\int\limits^{\infty}_{-\infty} dz \dfrac{3 \rho_Ly \vec r_0 }{(r_0^2+z^2)^{5/2}}-\int\limits^{\infty}_{-\infty} dz\dfrac{ \rho_L \vec j }{(r_0^2+z^2)^{3/2}}\right)$	0.60
3 Получено $\displaystyle\int\limits^{\infty}_{-\infty} \dfrac{dz}{(r_0^2+z^2)^{5/2}}=\dfrac{4}{3r_0^4}$	0.60
4 Получено $\displaystyle\int\limits^{\infty}_{-\infty} \dfrac{dz}{(r_0^2+z^2)^{3/2}}=\dfrac{2}{r_0^2}$	0.60
5 Ответ $\vec B(\vec r_0.y)=\dfrac{\mu_0 \rho_L}{4 \pi r^2_0} \left( \dfrac{4y \vec r_0}{r_0^2}-2 \vec j \right)$	0.20

C2 ^1.00 Найдите магнитного поля с двух сторон от сборки. Ответ дать в виде некоторого интеграла.

2 Получено поле с одной стороны $\vec B = -\displaystyle\int\limits^{\pi/2}_{-\pi/2} d\alpha \cdot \dfrac{\mu_0 \sigma}{2 \pi y} \cdot \left[ \vec i \left( 2\cos(\alpha-\beta)\sin\alpha-\sin\beta\right)+\vec j \left( 2\cos(\alpha-\beta)\cos\alpha-\cos\beta\right)\right]$	0.50
3 Получено поле с другой стороны $\vec B = \displaystyle\int\limits^{\pi/2}_{-\pi/2} d\alpha \cdot \dfrac{\mu_0 \sigma}{2 \pi y} \cdot \left[ \vec i \left( 2\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha+\sin\beta\right)+\vec j \left( -2\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha+\cos\beta\right)\right]$	0.50

C3 ^1.00 Покажите, что с одной стороны идеальной сборки магнитное поле стремится к нулю.

1 Показано, что с одной стороны поле стремится к нулю.

1.00

C4 ^1.00 Запишите выражение для поля с другой стороны.

1 $\vec B=\dfrac{2 \mu_0 \sigma \pi}{\lambda }\left(\vec i \cdot \sin\left(\beta_0+\dfrac{2\pi x_0}{\lambda}\right)_-j \cdot \cos\left(\beta_0+\dfrac{2\pi x_0}{\lambda}\right)\right) \cdot \dfrac{1}{e^ky_0}$

1.00

C5 ^1.50 На основании выражения поля найдите среднее давление $Р$ такого магнита на дверь холодильника. Возьмите следующие параметры: толщина $t=0.5~\text{мм}$, объемная плотность магнитного диполя $\rho = 2 \cdot 10^5 \frac {\text{Тл} \cdot \text{м}} {\text{Гн}}$, шаг сборки $\lambda=5~\text{мм}$.

2 Ответ $P=\dfrac{\mu_0 \sigma^2 \pi^2 }{2 \lambda^2}$	1.00
3 Ответ $P=10 \ \text{кПа}$	0.50

C6 ^0.50 Найдите соотношение между давлением, которое создает магнитная сборка Халбаха и давлением, которое создает обычный магнит из того же материала, с теми же радиусом и толщиной. Здесь тоже следует пренебречь эффектами на периметре кружка и и толщиной магнита.

1 Ответ $\eta= \left(\dfrac{B}{B_0}\right)^2 =\left(\dfrac{4 \pi R}{\lambda}\right)^2$	0.40
2 Ответ $\eta=0,69$	0.10

Магнитная сборка Халбаха

Разбалловка