1.1  ^?? Найдите с точностью не хуже $1\%$ отношение радиуса $R$ орбиты планеты к радиусу $r$ планетостационарной орбиты, по которой корабль движется вокруг центра планеты. Ответ запишите в виде целого числа.

Угловая скорость вращения планеты вокруг звезды $\Omega$ связана с величиной линейной скорости планеты $\Omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{V}{R}$. Длительность «дня» зависит не только от угловой скорости вращения планеты вокруг своей оси $\omega$ в «неподвижной» системе отсчета (СО), связанной с центром звезды, но и от угловой скорости вращения планеты вокруг звезды. Ясно, например, что при вращении планеты вокруг своей оси в том же направлении, что и вокруг центра звезды, при определенном соотношении угловых скоростей планета всегда будет обращена к звезде одной стороной, на которой день будет «вечным». В общем случае $\tau=\frac{2 \pi}{\omega-\Omega} \Rightarrow \omega=\frac{2 \pi}{\tau}+\frac{2 \pi}{T}$, и, поскольку по условию $T=124 \tau$, то $\omega=125 \Omega$. Из уравнения движения планеты массы $M$ вокруг звезды массы $\bar M$ (оно имеет вид $M \Omega^{2} R=\frac{G M\bar{M}}{R^{2}}$) находим, что $R^{3}=\frac{G \bar M}{\Omega^{2}}$. Аналогично из уравнения движения корабля массы $m$ вокруг планеты (оно имеет вид $m \omega^{2} r=\frac{G m M}{r^{2}}$) получаем, для радиуса круговой орбиты корабля $r^{3}=\frac{G M}{\omega^{2}} \Rightarrow r=\left(\frac{M}{\bar M}\right)^{1 / 3} \frac{R}{(125)^{2 / 3}}=\frac{R}{2500}$. Как видно, $R/r = 2500$, то есть радиус орбиты корабля намного меньше радиуса орбиты планеты, а его масса очевидно должна быть намного меньше массы планеты, так что записанное выше уравнение движения явно справедливо с точностью заведомо лучше 1\%.

1.2  ^?? Вычислите с точностью не хуже $1\%$ отношение модулей максимальной и минимальной скоростей корабля относительно центра звезды при нахождении корабля на этой орбите.

Линейная скорость вращения корабля относительно центра планеты $v=\omega r=125 \Omega \cdot \frac{R}{2500}=\frac{V}{20}$. Следовательно, максимальная скорость корабля на «планетостационарной» орбите $v_{\max }=v+V=\frac{21}{20} V$, а минимальная $v_{\min }=V-v=\frac{19}{20} V$. Таким образом, $\frac{v_{\max }}{v_{\min }}=\frac{21}{19} \approx 1,105$.

1.3  ^?? Найдите с точностью не хуже $5\%$ модуль скорости корабля в системе отсчета, связанной с планетой, спустя 1 час после старта. Ответ запишите в км/с.

Введем систему координат, начало которой совпадает с положением корабля в момент старта. К моменту времени $t=\frac{\tau}{20}=\frac{T}{2480}$ корабль, двигающийся в CO, связанной с центром звезды, со скоростью $v_{\max }=\frac{21}{20} V$, прошел расстояние $s=\frac{21}{20} V \frac{T}{2480}=\frac{21 \pi}{24800} R$ вдоль оси х. Центр планеты за это же время повернулся вокруг центра звезды на угол $\varphi=\frac{\pi}{1240} .$ Значит, он сдвинулся на расстояние $\Delta {x}={R} \sin \varphi \approx \frac{\pi}{1240} {R}$ вдоль оси $x$ и на расстояние $\Delta {y}={R}(1-\cos \varphi) \approx \frac{{R} \varphi^{2}}{2} \approx \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{1240}\right)^{2} {R}\ll \Delta {x}$ вдоль оси $y$. Так что отрезок, соединяющий центр планеты с кораблем, в рассматриваемый момент имеет проекцию на ось $x$, равную ${r}_{{x}}^{\prime}={s}-\Delta x=\frac{\pi}{24800} {R}$, и проекцию ${r}_{{y}}^{\prime} \approx {r}=\frac{{R}}{2500}$ на ось $y$. Скорость планеты имеет проекции на эти оси ${V}_{{x}}={V} \cos \varphi \approx {V}$ и ${V}_{{y}}={V} \sin \varphi \approx \frac{\pi}{1240} {V}$, а скорость вращения ${v}_{врx }=\omega {r}_{{y}}^{\prime}=\omega \frac{{R}}{2500}=\frac{{V}}{20}$ и ${v}_{врy}=\omega {r}_{{x}}^{\prime}=\omega \frac{\pi {R}}{24800}=\frac{5 \pi}{992} {V}$. Отметим, что все использованные приближения явно имеют точность лучше 1\% Значит, проекции скорости корабля относительно твердой части планеты: ${v}_{{x}}^{\prime} \approx \frac{21 {V}}{20}-{V}-\frac{{V}}{20}=0$ и ${v}_{{y}}^{\prime} \approx-\frac{\pi}{1240} {V}-\frac{5 \pi}{992} {V}=-\frac{29 \pi}{4960} {V}$, то модуль этой скорости ${v}_{1} \approx \frac{29 \pi}{4960} \Omega R=\frac{29 \pi^{2}}{2480} \frac{{R}}{{T}} \approx 2.585~км/с$.

1.4  ^?? Найдите с точностью не хуже $5\%$ модуль скорости корабля в системе отсчета, связанной с планетой, спустя 1 планетный «год» после старта. Ответ запишите в км/с, округлив до целого числа.

Спустя «год» планета вернется в то же положение и будет двигаться с той же скоростью V вдоль оси х. Корабль за это время сдвинется вдоль этой оси на расстояние ${S}=\frac{21}{20} {V} \cdot {T}=\frac{21 \pi}{10} {R}$. Это расстояние намного больше, чем проекция на ось у отрезка, соединяющего центр планеты с кораблем, (${r}={R} / 2500$). Поэтому с точностью лучше 0.1\% относительная скорость определяется только у-компонентой скорости вращения, то есть ${v}_{2} \approx \omega S=525 \pi^{2} \frac{{R}}{{T}} \approx 116074~км/с$. Эта скорость выглядит огромной, но на самом деле она связана с очень большим расстоянием до оси вращения планеты — в инерциальной системе отсчета корабль по-прежнему движется со скоростью $\frac{21}{20} {V}=\frac{21 \pi}{10} \frac{{R}}{{T}} \approx 148~км/с$.