Цепной привод раскручивает «верхнюю» ось, и в установившемся режиме (когда угловые скорости вращения обеих осей постоянны), ее угловая скорость равна $\omega_1$. Передача вращения от «верхней» оси к «нижней» осуществляется за счет трения между двумя валиками, которые имеют форму усеченных конусов с размерами, показанными на рисунке. Конусы равномерно прижаты друг к другу вдоль линии их соприкосновения (полная сила нормальной реакции, возникающая при взаимодействии конусов, равна $F$). Коэффициент сухого трения между конусами $\mu=0.4$. Оси вращения параллельны, их направления фиксированы с помощью двух пар шарикоподшипников с пренебрежимо малым трением. Никакие другие силы, кроме сил, действующих со стороны «верхнего» конуса, не влияют на вращение «нижнего» конуса.
Пусть теперь нам известно, что цепной привод совершает над «верхней» осью работу по раскручиванию и поддержанию вращения, развивая при этом постоянную мощность $P=\frac{211 \pi}{10} \rho R^{4} h \cdot \omega_{m}^{3}$. В этом выражении $\rho$ — плотность материала, из которого изготовлены оба валика, а $\omega_{m}=2 \pi~с^{-1} \approx 6.2832~с^{-1}$ – постоянная величина. В момент включения цепного привода оба валика покоились. Считайте, что вся указанная мощность без потерь (за исключением потерь на трение о «нижний» валик) идет на увеличение кинетической энергии «верхнего» валика.
Указание: Уравнение вращательного движения, описывающее изменение угловой скорости твердого тела с моментом инерции $I$ под действием момента сил $M$ имеет вид: $I \cfrac{d \omega}{d t}=M$. Момент инерции однородного конуса из материала с плотностью $\rho$, с радиусом основания $R$ и высотой $H$ равен $I=\cfrac{\pi}{10} \rho R^{4} H$.
2.4 Найдите с точностью не хуже 15\% время после включения вращения цепного привода, за которое угловые скорости осей станут равны друг другу. Для вычислений Вам может понадобиться следующая приближенная формула: $e^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$, справедливая при $|x|\ll 1$. Ответ выразите в мс.
Учтите, что величина силы прижатия валиков в этом и в следующем пункте считается известной: она равна $F=\frac{211 \pi}{10} \rho R^{3} h \cdot \omega_{m}^{2}$.