В одном из механических устройств на корабле использовалась фрикционная передача, устройство которой показано на рисунке.

Цепной привод раскручивает «верхнюю» ось, и в установившемся режиме (когда угловые скорости вращения обеих осей постоянны), ее угловая скорость равна $\omega_1$. Передача вращения от «верхней» оси к «нижней» осуществляется за счет трения между двумя валиками, которые имеют форму усеченных конусов с размерами, показанными на рисунке. Конусы равномерно прижаты друг к другу вдоль линии их соприкосновения (полная сила нормальной реакции, возникающая при взаимодействии конусов, равна $F$). Коэффициент сухого трения между конусами $\mu=0.4$. Оси вращения параллельны, их направления фиксированы с помощью двух пар шарикоподшипников с пренебрежимо малым трением. Никакие другие силы, кроме сил, действующих со стороны «верхнего» конуса, не влияют на вращение «нижнего» конуса.

2.1 Найдите с точностью не хуже 1\% отношение угловых скоростей $\omega_2/\omega_1$ при установившемся режиме вращения. Ответ округлите до сотых долей.

Пусть теперь нам известно, что цепной привод совершает над «верхней» осью работу по раскручиванию и поддержанию вращения, развивая при этом постоянную мощность $P=\frac{211 \pi}{10} \rho R^{4} h \cdot \omega_{m}^{3}$. В этом выражении $\rho$ — плотность материала, из которого изготовлены оба валика, а $\omega_{m}=2 \pi~с^{-1} \approx 6.2832~с^{-1}$ – постоянная величина. В момент включения цепного привода оба валика покоились. Считайте, что вся указанная мощность без потерь (за исключением потерь на трение о «нижний» валик) идет на увеличение кинетической энергии «верхнего» валика.

Указание: Уравнение вращательного движения, описывающее изменение угловой скорости твердого тела с моментом инерции $I$ под действием момента сил $M$ имеет вид: $I \cfrac{d \omega}{d t}=M$. Момент инерции однородного конуса из материала с плотностью $\rho$, с радиусом основания $R$ и высотой $H$ равен $I=\cfrac{\pi}{10} \rho R^{4} H$.

2.2 Получите формулу для момента инерции «нижнего» валика $I_2$. В ответе запишите эту формулу, выразив $I_2$ через $\rho$ и геометрические параметры ($R$ и $h$).

2.3 Получите формулу для момента инерции «верхнего» валика $I_1$. В ответе запишите эту формулу, выразив $I_1$ через $\rho$ и геометрические параметры ($R$ и $h$).

2.4 Найдите с точностью не хуже 15\% время после включения вращения цепного привода, за которое угловые скорости осей станут равны друг другу. Для вычислений Вам может понадобиться следующая приближенная формула: $e^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$, справедливая при $|x|\ll 1$. Ответ выразите в мс.

Учтите, что величина силы прижатия валиков в этом и в следующем пункте считается известной: она равна $F=\frac{211 \pi}{10} \rho R^{3} h \cdot \omega_{m}^{2}$.

2.5 Используя результаты, полученные при рассмотрении предыдущих вопросов этой части задачи, найдите с точностью не хуже 3\% величину угловой скорости $\omega_2$ в установившемся режиме. Ответ запишите в $с^{-1}$.