3.1  ^?? Пренебрегая ЭДС индукции в катушке по сравнению с ЭДС фотоэлемента, запишите с точностью до постоянного коэффициента формулу, выражающую зависимость силы тока $I$ в катушке от расстояния $r$ между кораблем и звездой.

При малой индуктивности ЭДС индукции будет мала, и ток через катушку будет определяться ЭДС фотоэлемента. Ясно, что в этом случае сила тока в цепи будет пропорциональна мощности поступления световой энергии, а она по мере удаления от звезды будет убывать обратно пропорционально квадрату расстояния $r$, то есть $I= \operatorname{const} \cdot \frac{1}{r^{2}}$. В дальнейшем будем записывать эту связь в виде $I=I_{0} \frac{r_{0}^{2}}{r^{2}}$.

3.2  ^?? Запишите с точностью до постоянного коэффициента формулу, выражающую зависимость напряжения $U$ на катушке от расстояния $r$ между кораблем и звездой и величиной радиальной скорости корабля $v \equiv \cfrac{d r}{d t}$.

С учетом полученного результата и соотношения $d\left(\frac{1}{r^{2}}\right) \approx-\frac{2 d r}{r^{3}}$ находим:

$$
U=L\left|\frac{dI}{dt}\right|=LI_{0} r_{0}^{2}\left|\frac{d\left(1 / r^{2}\right)}{dt}\right|=2 \frac{LI_{0} r_{0}^{2}}{r^{3}} v,
$$

где $v \equiv \frac{dr}{dt}$ — скорость удаления датчика от звезды. Итак, $U=\operatorname{const}\cdot \frac{v}{r^{3}}$.

3.3  ^?? Найдите угловую скорость вращения корабля вокруг звезды в начале специального маневра. Ответ запишите в $с^{-1}$.

С учетом выражения для расстояния $r=r_{0} \sqrt{\frac{I_{0}}{I}}$ находим, что
$$U \approx 2 \frac{LI^{3 / 2}}{r_{0} \sqrt{I_{0}}} v \Rightarrow v(t) \approx \frac{r_{0} \sqrt{I_{0}}}{2 LI^{3 / 2}} U=\frac{1}{2 \mathrm{~L}} r(t) \frac{U}{I} .$$
Из таблицы находим, что связь показаний амперметра и вольтметра с хорошей точностью описывается формулой $U \approx I \cdot 3.14 \cdot 10^{-4}~Ом$. Следовательно, отношение скорости удаления звездолета от звезды и мгновенного значения расстояния между ними $\frac{v}{r}=\frac{U}{2 LI} \approx 3.14 \cdot 10^{-3}~с^{-1}$ — эта величина остается постоянной! С другой стороны, при движении по заданной траектории отношение скорости корабля вдоль радиуса $v$ и скорости вращения $\omega r$ есть котангенс угла, под которым спираль пересекает радиальные лучи, то есть $\frac{v}{\omega r}=\operatorname{ctg}\alpha \Rightarrow \omega=\frac{v}{r} \operatorname{tg}\alpha \approx 1.57 \cdot 10^{-3}~с^{-1}$. Итак, вращение корабля вокруг звезды происходит с постоянной угловой скоростью.

3.4  ^?? Найдите угловую скорость вращения корабля вокруг звезды в конце специального маневра. Ответ запишите в $с^{-1}$.

Как видно, в конце маневра также $\omega=\frac{v}{r} \operatorname{tg}\alpha \approx 1.57 \cdot 10^{-3}~с^{-1}$.

3.5  ^?? Найдите время движения корабля при выполнении специального маневра. Ответ запишите в с.

Из рисунка 1 в условии задачи следует, что за время выполнения маневра угол поворота изменяется на $\pi$ радиан. Значит, $t=\frac{\pi}{\omega}=\frac{2 \pi L I}{U} \operatorname{ctg}\alpha \approx 2000~с$.