1
В эксперименте три фотона с одинаковым поляризационным состоянием $\left( \begin{array}{c}
\frac{1+2i}{3} \\
-\frac{2}{3} \end{array}
\right)$ направляются на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. Найдите вероятность того, что все три фотона пройдут через поляроид.
4
Пучок фотонов, находящихся в одинаковом чистом поляризационном состоянии, направляют на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. В первом опыте было пущено $N_0=1690~фотонов$, и через поляроид прошло $N_1=250~фотонов$. Затем ось поляроида повернули на $30^\circ$ в сторону оси $y$. Снова на него было направлено $N_0=1690~фотонов$ в том же поляризационном состоянии (второй опыт), и в этот раз через поляроид прошло $N_2=807~фотонов$. Ось поляроида повернули еще на $30^\circ$ в ту же сторону, и затем провели третий опыт — направили на поляроид то же количество фотонов в том же состоянии. Предскажите количество фотонов $N_3$, прошедших через поляроид в третьем опыте.
${\textit{Указание}}$: Учтите (см. справочные материалы к задаче), что при восстановлении столбца, описывающего чистое поляризационное состояние, можно считать, что «верхний» элемент этого столбца — вещественное число, то есть он имеет вид $\left( \begin{array}{c}
\alpha \\
{\beta }_1+i{\beta }_2 \end{array}
\right)$.
6
При прохождении через некоторое вещество световой волны плоскость ее поляризации поворачивается — угол $\vartheta $ поворота плоскости поляризации изменяется пропорционально длине пути, пройденного фотоном в веществе: $\vartheta (z)=\frac{\pi }{L}z$, где $L=26~см$. Световая волна, про которую говорится в вопросе 3 проходит через такое вещество, и затем падает на поляроид. Найдите наименьшую толщину слоя вещества, при которой интенсивность прошедшей через поляроид волны будет максимально возможной. Ответ дайте в сантиметрах, с точностью до десятых долей.
7
Пусть фотон находится в состоянии суперпозиции $\left( \begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right)$ увеличивается на $\delta =q\cdot z$, а фаза комплексного числа $\beta$ — уменьшается на такую же величину. Постройте матрицу эволюции поляризационного состояния фотона при прохождении им пути $z$ в этой среде.
Среди «наблюдаемых» для фотона, связанных с его поляризацией, одной из самых важных является $\textit{спиральность}$. Разберемся, что это такое. Фотоны, как и многие квантовые частицы, обладают $\textit{спином}$ — «собственным» моментом импульса. Название «собственный» означает, что этот момент импульса не связан с движением фотона в пространстве, то есть спин отличен от нуля в системе координат, начало которой находится на линии движения фотона. Таким образом, «собственный» момент импульса связан с неким «внутренним» устройством фотона. Поэтому полный момент импульса фотона $\vec{J}$ состоит из «обычного» вклада, связанного с импульсом фотона (в квантовой физике эту часть момента импульса называют «$\textit{орбитальным моментом}$»), и «собственного»: $\vec{J}=\left[\vec{r}\times \vec{p}\right]+\vec{S}$. Поэтому даже у свободного фотона орбитальный момент $\left[\vec{r}\times \vec{p}\right]$ и спин $\vec{S}$ по отдельности не сохраняются — сохраняющейся величиной является именно полный момент импульса. Ясно также, что у свободного фотона сохраняется импульс $\vec{p}$.
Если измерять проекцию спина фотона на некоторое произвольное направление, то мы обнаружим, что возможные значения этой «наблюдаемой» равны $\pm \hslash$, и им соответствуют два возможных $\textit{спиновых состояния}$ фотона. Оказывается, что «пространство» спиновых состояний фотона и «пространство» его поляризационных состояний — это на самом деле одно и то же двумерное пространство состояний фотона при заданном волновом векторе $\vec{k}$. Однако поляризации, о которых мы говорили ранее, сохраняются у свободно движущегося фотона, и мы можем использовать поляризацию как характеристику его состояния. А вот проекцию спина фотона на «произвольно выбранное» направление нельзя использовать в качестве характеристики его состояния — она не сохраняется, и поэтому не имеет определенного значения для свободного фотона. Как же выбрать базисные спиновые состояния фотона? Выход состоит в следующем: нужно из всех возможных проекций спина фотона выбрать ту, которая сохраняется при свободном движении.
Эта сохраняющаяся проекция вектора спина фотона и называется $\textit{спиральностью}$ фотона. Ее договорились измерять в единицах постоянной Планка $\hslash $, так что допустимые значения спиральности $\mathrm{\Lambda }=\pm 1$. В нашем поляризационном базисе состояния с определенными значениями спиральности — это $|+1\rangle=\left( \begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}} \end{array}
\right)$ и $|-1\rangle=\left( \begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}} \end{array}
\right)$.
11
В пучке фотонов с интенсивностью $I_0$, летящих вдоль оси $z$, все фотоны находятся в одинаковом поляризационном состоянии. На пути пучка поставили поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. В результате интенсивность прошедшего пучка оказалась равна $0.75I_0$. Ось поляроида повернули на 45$\mathrm{{}^\circ}$ в сторону оси $y$, и теперь интенсивность прошедшего пучка стала равна $0.5I_0$. Затем поляроид убрали и на пути пучка поставили устройство, пропускающее все фотоны со спиральностью $+1$ и поглощающее все фотоны со спиральностью $-1$. Теперь интенсивность прошедшего через устройство пучка стала равна $0.25I_0$. Считая поляризационное состояние фотона в падающем пучке смешанным, определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc}
{\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\
{\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array}
\right)$ для этого состояния.
На самом деле ясно, что чистое состояние можно считать частным случаем смешанного состояния — когда «случайная» разность фаз между некогерентно смешиваемыми состояниями случайно оказалось постоянной. Поэтому иногда состояние, которое мы описали матрицей $\hat{\rho }$, все-таки можно описать при помощи столбца $\left( \begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right)$, и такое состояние будет являться чистым.
12
Найдите условие, которому должны подчиняться компоненты матрицы ${\rho }_{11}$, ${\rho }_{12}$, ${\rho }_{21}$ и ${\rho }_{22}$ для того, чтобы матрица $\hat{\rho }$ описывала чистое состояние. Запишите это условие, а также ответьте на вопрос: является ли чистым поляризационное состояние фотона в пучке, о котором идет речь в вопросе 11? В ответе напишите «ДА» или «НЕТ».
$\textit{Указание}$: Пусть фотон находится в чистом состоянии $\left( \begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right)$ и нас интересует вероятность обнаружить его в некотором другом чистом состоянии. Если матрица $\hat{\rho }$ описывает то же самое чистое состояние, что и столбец $\left( \begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right)$, то указанная вероятность может быть вычислена и непосредственно (с использованием формулы для чистого состояния), и с помощью матрицы $\hat{\rho }$.
13
Рассмотрим $\textit{другой}$ пучок фотонов, летящих вдоль оси $z$, все фотоны которого находятся в одинаковом $\textit{смешанном}$ поляризационном состоянии. У нас есть три «наблюдаемые», связанные с поляризацией. Первая «наблюдаемая» $\hat{F}$ имеет определенные значения 1 (в состоянии $|x\rangle=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \end{array}
\right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \end{array}
\right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}
\right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}
\right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc}
{\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\
{\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array}
\right)$ для этого состояния.
Рассмотрим установку, схема которой показана на рисунке.
Источник испускает одиночные фотоны, находящиеся в состоянии с определенной спиральностью, равной $+1$, и направляет их на полупрозрачное зеркало-сепаратор. Сепаратор пропускает фотоны, поляризованные вдоль оси $x$ (после чего они попадают на идеальное зеркало $M2$) и отражает фотоны, поляризованные вдоль оси $y$ (они затем попадают на идеальное зеркало $M1$). Идеальные зеркала меняют направление движения фотона, а их влияние на столбец, описывающий поляризационное состояние фотона, сводится к сдвигу фазы на $\pi $ — то есть к умножению столбца на $-1$. Фотоны, отразившиеся от идеальных зеркал, попадают на полупрозрачное зеркало-кооператор $C$. Кооператор переводит попавший на него фотон в поляризационное состояние $|f\rangle=|1\rangle+|2\rangle$ , где $|1\rangle$ и $|2\rangle$ — поляризационные состояния, отвечающие волнам вероятности прихода фотонов от $M1$ и $M2$ соответственно. Прошедшие кооператор фотоны направляются к детектору $D1$, если они имеют спиральность $+1$, и к детектору $D2$, если их спиральность равна $-1$.
Здесь важно отметить, что сепаратор разделяет волну вероятности падающего фотона — после него фотон находится в состоянии, в котором он с некоторой вероятностью идет по каналу, в котором находится $M1$, и с «дополнительной» вероятностью — по каналу, в котором находится $M2$. Идеальные зеркала считаются «жестко» закрепленными — они не обмениваются энергией с фотоном, и не разрушают когерентности этих волн вероятности, так что до самого срабатывания $D1$ или $D2$ мы не знаем, что происходило с фотоном внутри нашей установки — фотон все время находится в чистом квантовом состоянии.
Теперь возникает технологическая задача. Допустим, что у нас есть «неограниченный» запас бомб, снабженных «однофотонным детонатором». Этот детонатор — зеркало, отражающее $\textit{все}$ падающие на него фотоны и чувствующее импульс отдачи. При отражении зеркалом хотя бы одного фотона детонатор подрывает бомбу. Детонатор после установки на бомбу нельзя снять, не испортив его. При этом у половины бомб (неизвестно, у каких) детонатор неисправен: зеркало отражает фотон, но «не чувствует» импульс отдачи, и подрыва не происходит при любом количестве отраженных фотонов.
Исправность детонатора можно проверить $\textit{только одним}$ способом — выяснить, сработает ли он при отражении фотона. Нам необходимо найти бомбу с гарантированно исправным детонатором, не взорвав ее (при этом нас не волнует, сколько бомб и вспомогательного оборудования мы взорвем до этого).
Ясно, что эта задача не имеет решения с точки зрения классической физики — если мы направим фотон на исправный детонатор, то бомба обязательно взорвется, и у нас после большой серии испытаний останутся только бомбы с неисправными детонаторами. Изучим квантовый алгоритм решения этой задачи. Используем для тестирования установку из вопроса 14, заменив в ней зеркало $M2$ на зеркало-детонатор бомбы. Можно считать, что неисправный детонатор эквивалентен идеальному зеркалу $M2$. Исправный детонатор, забирая у фотона часть импульса, фактически производит измерение. Исправный детонатор разрушает когерентность волн вероятности, идущих по разным каналам установки, и после взаимодействия с ним оказывается, что фотон с вероятностью 1 идет по каналу, в котором произошло взаимодействие, а поляризационное состояние фотона остается таким, каким оно было до взаимодействия с детонатором.
15
Определите вероятность того, что при испускании фотона источником в установке с исправным детонатором $M2$ бомба не взорвется и сработает $D1$, а также вероятность того, что бомба не взорвется и сработает $D2$. В ответ запишите эти вероятности последовательно (сначала $w_1$, затем $w_2$), с точностью до сотых долей.