1  ^?? Определите напряжение источника и сопротивление резистoра.

Пусть в первом случае сопротивление реостата равно $R_{1}$, во втором – равно $R_{2}$. По закону Ома имеем:
$$
\left\{\begin{array}{l}
I_{1}\left(r+R_{1}\right)=U,
\\
I_{2}\left(r+R_{2}\right)=U,
\end{array}\right.
$$
где $R_{1}=\frac{P_{1}}{I_{1}^{2}}=12~Ом$, $R_{2}=\frac{P_{2}}{I_{2}^{2}}=\frac{6}{5}~Ом$.
Решая систему выше, получим
$$
\begin{aligned}
&U=\frac{P_{1} I_{2}^{2}-P_{2} I_{1}^{2}}{I_{1} I_{2}\left(I_{2}-I_{1}\right)}=36~В,
\\
&r=\frac{P_{1} I_{2}-P_{2} I_{1}}{I_{1} I_{2}\left(I_{2}-I_{1}\right)}=6~Ом.
\end{aligned}
$$

2  ^?? Найдите силу тока в цепи, когда сопротивление реостата равно нулю.

Если сопротивление реостата равно нулю, то
$$
I_{0}=\frac{U}{r}=6~А.
$$

3  ^?? Найдите максимальную мощность, которая может выделиться на реостате. Чему равно сопротивление $R_{м}$ реостата в этом случае?

В общем случае мощность, которая выделяется на переменном сопротивлении $R$, можно представить в виде:
$$
P_{R}=I^{2} R=\frac{U^{2} R}{(R+r)^{2}}
$$
или
$$
P_{R}=I U-I^{2} r,
$$
где $I U$ – мощность, развиваемая источником.

На рисунке выше представлена зависимость $P_{R}(I)$. Это парабола, вершина которой $P_{макс}$ соответствует силе тока $I=\frac{U}{2 r}$. Следовательно,
$$
P_{макс}=\frac{U^{2}}{4 r}=\frac{U^{2} R_{м}}{\left(R_{м}+r\right)^{2}},
$$
откуда $R_{м}=r$. Итак,
$$
P_{макс}=\frac{U^{2}}{4 r}=54~Вт, \quad R_{м}=6~Ом.
$$