При каком минимальном критическом коэффициенте трения $\mu_{кр}$ груза о кузов груз будет неподвижен относительно грузовика во время движения?

При движении по наклоненному под углом $\alpha$ прямолинейному участку дороги груз не будет скользить по кузову, если $\mu>\operatorname{tg} \alpha$.

Рассмотрим движение по участкам дороги, которые имеют форму дуг окружностей радиуса $R$. Обозначим через $m$ массу груза, $N$ – силу реакции со стороны кузова, $F_{тр}$ – силу трения груза о кузов. Так как центростремительное ускорение равно $v^{2} / R$, то для движения по участку дороги $3-4$, выпуклому вверх (см. рисунок $a$):
$$
m g \cos \beta-N=\frac{m v^{2}}{R}\quad \text {и}\quad m g \sin \beta=F_{тр}.
$$Так как в случае отсутствия скольжения $F_{тр}<\mu N$, то груз не будет скользить при $\mu>\frac{\sin \beta}{\cos \beta-\frac{v^{2}}{g R}}$. Отметим, что при $\cos \beta-\frac{v^{2}}{g R}<0$ грузовик оторвется от дороги, поэтому условие задачи о движении грузовика по дороге не будет выполнено.
Аналогично, для вогнутого участка дороги $1-2$ (см. рисунок $б$) получаем, что груз не будет скользить при $\mu>\frac{\sin \beta}{\cos \beta+\frac{v^{2}}{g R}}$. Таким образом, случай $\cos \alpha-\frac{v^{2}}{g R}<0$ не соответствует условию задачи, а в случае $\cos \alpha-\frac{v^{2}}{g R} \geqslant 0$ груз не будет скользить, если $\mu>\mu_{кр}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha-\frac{v^{2}}{g R}}$.

В каком месте дороги груз начнет скользить по кузову, если коэффициент трения окажется чуть меньше, чем $\mu_{кр}$?

Если $\mu$ будет чуть меньше, чем $\mu_{кр}$, то груз в точке $3$ начнет скользить по кузову.