По определению, емкость конденсатора равна $C=q /|\Delta \varphi|$. Чтобы найти емкость конденсатора, его нужно «зарядить» произвольным зарядом $q$ и вычислить возникшую между обкладками разность потенциала $| \Delta \varphi|$, которая по определению равна
$$
|\Delta \varphi|=\left|\frac{A}{q_{0}}\right|,
$$
где $A$ – работа по перемещению пробного заряда $q_{0}$ между обкладками заряженного конденсатора. Для того, чтобы найти работу $A$, построим график зависимости силы, действующей на пробный заряд $q_{0}$, от расстояния $x$ (см. рисунок $a$):
$$
F(x)=q_{0}E=q_{0} k / x.
$$
Искомая работа $A$ складывается из элементарных работ $\Delta A_{i}=F_{i} \Delta x_{i}$ (площади прямоугольных столбиков на графике) и численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции $S_{1}$. Если теперь, не изменяя заряда $q$, увеличить $R$ и $r$ в два раза, то искомая работа будет изображаться площадью $S_{2}$ (см. рисунок $б$). Легко сообразить, что $S_{1}=S_{2}$ (при сохранении способа разбиения и полного числа элементов-прямоугольников, каждый такой прямоугольник растянется вдвое по оси $x$ и уменьшится вдвое по оси $F$). Таким образом, емкость цилиндрического конденсатора не изменяется при одновременном изменении размеров $R$ и $r$ в одинаковое число раз.
Изменение длины цилиндров приводит к пропорциональному изменению емкости, так как при этом изменяется площадь обкладок при неизменном расстоянии между ними.
Итак, увеличение радиусов $R$ и $r$ в два раза не изменит емкости конденсатора, а уменьшение длины $l$ в три раза приведет к уменьшению его емкости втрое:
$$
C_{1}=\frac{1}{3} C_{0}.
$$