Весь газ перетечет в сосуд $2$. Закон сохранения энергии (первый закон термодинамики) можно записать в виде
$$
\frac{3}{2} \nu R\left(T-T_{0}\right)=M g H_{0}-m g H+\frac{\nu \mu g}{2}\left(H_{0}-H\right).
$$
До открытия крана (в левом сосуде) $p_{0}=\frac{M g}{S}$; $V_{0}=S H_{0}$ и уравнение Менделеева-Клапейрона запишется в виде $M g H_{0}=\nu R T_{0}$, следовательно, $g H_{0}=\frac{\nu}{M} R T_{0}$. После открытия крана $g H=\frac{\nu}{m} R T$. Подставляя это выражение в закон сохранения энергии, получим
$$
\frac{3}{2} \nu R\left(T-T_{0}\right)=\nu R\left(T_{0}-T\right)+\frac{\nu \mu}{2}\left(\frac{\nu}{M} R T_{0}-\frac{\nu}{m} R T\right)
$$
и окончательно
$$
T=T_{0} \frac{1+\frac{\nu \mu}{5 M}}{1+\frac{2 \nu \mu}{5 M}}=0.98 T_{0}.
$$